直线

更新时间:2024-07-22 14:16

直线由无数个点构成,点动成线。直线是的组成成分,并继而组成体。没有端点,向两端无限延伸,长度无法度量。直线是轴对称图形。

直线方程

平面方程

一般式

适用于所有直线的方程:

(其中、不能同时为0)

点斜式

知道直线上一点,并且直线的斜率存在,则直线可表示为:

当不存在时,直线可表示为:

斜截式

知道直线在轴上截距为(即经过点),斜率为,直线可表示为:

当不存在时,直线可表示为:

截距式

知道直线与轴交于,与轴交于,则直线可表示为:

当、均不为0时,截距式可写为

该表达式不适用于和任意坐标轴垂直的直线

两点式

知道直线经过点和点,且斜率存在,则直线可表示为:

法线式

其中为原点到直线的距离,为法线与轴正方向的夹角

点方向式

知道直线上一点,、不等于0,并且直线不与轴、轴平行,则直线可表示为:

点法向式

空间方程

1.一般方程:

2.点向式方程:

设直线方向向量为(m,n,p),经过点(x0,y0,z0)

3.x0y式

x=kz+b,y=lz+b

有关内容

设平面e的法向量为c直线m、n的方向向量为a、b

把平面ax+by+cz+d=0的法向量为(a,b,c);直线x=kz+b,y=lz+a的方向向量为(k,l,1)代入即可

则直线所成的角:m,n所成的角为a。

cosa=cos=|a*b|/|a||b|

直线和平面所成的角:设b为m和e所成的角,则b=π/2±。sinb=|cos|=|a*c|/|a||c|

平面两直线所成的角:设K(l1)=k1,K(l2)=k2(k1k2≠-1),tan1,l2>=(k1-k2)/(1+k1k2)

距离

异面直线的距离:l1、l2为异面直线,l1,l2公垂直线的方向向量为n、C、D为l1、l2上任意一点,l1到l2的距离为|AB|=|CD*n|/|n|

点到平面的距离:设PA为平面的一条斜线,O是P点在a内的射影,PA和a所成的角为b,n为a的法向量

易得:|PO|=|PA|sinb=|PA|*|cos|=|PA|*(|PA*n|/|PA||n|)=|PA*n|/|PA|

直线到平面的距离为在直线上一点到平面的距离;

点到直线的距离:A∈l,O是P点在l上的射影,PA和l所成的角为b,s为l的方向向量。

易得:|PO|=|PA|*|sinb|=|PA|*|sin|=|(PA|2|s|2|-|PA*s|2)1/2/|s|

平面内:直线ax+by+c=0到M(m,n)的距离为|am+bn+c|/(a2+b2)1/2

平行直线:l1:ax+by+c=0,l2:ax+by+d=0,l1到l2的距离为|c-d|/(a2+b2)1/2

备注:

直线是曲线的暂短停留。

应用

点与直线

一般情况下,点与直线的距离,是指点到直线的最短距离,即垂直距离。

在二维直角坐标中,直线Ax+By+C=0与点(p,q)的最短距离为

给出向量式和点,则有距离

直线相交点

不考虑重合的情形,在二维平面中,两条相交直线可以相交平行

给定两条直线和,二者相交的条件是

或等价地,

当中。

这时两线的相交点可从克莱姆法则求得

相交直线夹角

若两线相交,则会形成夹角。两线之间的夹角,通常指不大于90°的一只。

在二维平面上,给定直线y=mx+b,该线与x-轴的夹角为。

给定两条直线和,二者互相垂直当且仅当

而其他情况,两线相交所形成的夹角(),则由

给出。

给定相交直线向量式和,则有

直线的距离

一般情况下,两条直线的距离,是指最短距离。

二维情况下,两条相交直线的距离必然为0。

若有两条平行直线及,则有距离

给定平行向量式和,则有

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