6642-2466=4176 7641-1467=6174

好啦！6174的“幽灵”又出现了，大家不妨试一试，对于任何一个数字不完全相同的四位数，最多运算7步，必然落入陷阱中。

这个黑洞数已经由印度数学家证明了。

在数学中由有很多有趣，有意义的规律等待我们去探索和研究，让我们在数学中得到更多的乐趣。

苏联的科普作家高基莫夫在他的著作《数学的敏感》一书中，提到了一个奇妙的四位数6174，并把它列作“没有揭开的秘密”。不过，到2003年后，由于数学爱好者的努力，已经开始拨开迷雾。

请随便写出一个四位数，这个数的四个数字有相同的也不要紧，如1223,、3346等，但这四个数不准完全相同，例如1111、2222、3333、4444、5555、6666、7777、8888、9999、0000都应该排除。

写出四位数后，把数中的各位数字按大到小的顺序和小到大的顺序重新排列，将得到由这四个数字组成的四位数中的最大者和最小者，两者相减，就得到另一个四位数。将组成这个四位数的四个数字施行同样的变换，又得到一个最大的数和最小的数，两者相减……这样循环下去，一定在经过若干次（最多7次）变换之后，得到6174。

例如，开始时我们取数8208，重新排列后最大数为8820，最小数为0288，8820—0288=8532；对8532重复以上过程：8532－2358=6174。这里，经过两步变换就掉入6174这个“陷阱”。

需要略加说明的是：以0开头的数，例如0288也得看成一个四位数。再如，我们开始取数2187，按要求进行变换：

2187 → 8721－1278=7443→7443－3447=3996→9963－3699=6264→6642－2466=4176→7641－1467=6174。

这里，经过五步变换就掉入了“陷阱”——6174。

拿6174 本身来试，只需一步：7641－1467=6174，就掉入“陷阱”再也出不来了。

所有的除各位数字全相同的四位数都会掉入6174设的陷阱，不信可以取一些数进行验证。验证之后，你不得不感叹6174的奇妙。

【摘要】

本文提出建立了黑洞数的概念，分别对整数黑洞数、模式黑洞数、方幂余式黑洞数的一般性质做了阐述。并给出了二元一次方程ax- by- c =0的求根法则。

【关键词】

黑洞数、 整数黑洞数 、 模式黑洞数 、方幂余式黑洞数。

【引言】

在日常学习计算中，化简含有未知数的代数式或方程经常会得到x-x=0之结果。此前，人们只是把这种情况定义为“此算式没有意义”而终结。黑洞数理论的出现 ，让人们看到了代数式或方程中未知数可任意取值时的另一层含义。本文提出证明的方幂余式黑洞数定理，揭示出a, m不互素条件下的余数循环规律，它将与欧拉余数定理互为补充，构造出全体整数的方幂式除法余数运算法则。本文给出的二元一次方程ax-by-c=0的求根公式，将成为余数新理论应用的一个范例。

在含有未知数变量的代数式中，当未知数变量任意取值时其运算结果都不改变，我们把这时的数字结果叫黑洞数。根据运算性质的不同，我们把黑洞数分为以下三种类型：Ⅰ、整数黑洞数 Ⅱ、模式黑洞数 Ⅲ、方幂余式黑洞数

在前文《模根因数定理与模根剩余法判定素数》中，在建立选加因数概念后，我们证明了整数因数定理：

若a、b都是大于1的整数，且有g = ab，则有：

g+an=a（b+n）

其中 ： n = 0、1、2、3……

根据整数因数定理，我们即可得到如下整数黑洞数

ab+an

--------------- = a

b+n

其中： n = 0、1、2、3 ……

这里，不论未知变量怎样取值，上式的结果都等于a.。

例如：取a=7, b=3，ab=21， 则有：

21+7n

---------------- = 7

3+n

其中： n = 0、1、2、3 ……

应用方面的例子：

全体偶数= 2 (n) + 2, （ n = 0、1、2、3 ……）

自然数中的全部合数= 4 +2n + h(2+n)

其中： n = 0、1、2、3 ……

对n的每个取值都重复取

h = 0、1、2、3 ……

模式黑洞数是指模的同余式mn+L条件下的黑洞数。 在前文《模根因数定理与模根剩余法判定素数》一文中，模根因数定理（1）式：

若 a＞1， b＞1，且 ab = mk + L，则有：

m（k+aN）+L

-------------------------- = a

b+mN

其中：N = 0、1、2、3 ……

这时的a值就是模式黑洞数。

应用实例：

取a=7， b=13, 则 ab= 91=mk + L = 2×45×1

2（45+7N）+1

根据上式得到：-------------------------- =7

13+2N

其中：N = 0、1、2、3 ……

应用实例：素数通式定理

若ap是同余式2N+1模根数列的条件剩余数，

当 ap ≠ 4 + 3n + h (3 +2n ) 时

其中：n = 0、1、2、3 ……

对n的每个取值都重复取

h = 0、1、2、3 ……

则条件通式 2+1 的值恒是素数。

模式黑洞数性质是我们建立素数代数理论体系的根本前提。

在方幂余式除法a^n÷m ≡L关系中，当得到 L^n÷m ≡L 时 (n = 1、2、3 ……), 我们称这时的L为因数a的m值黑洞数。

例如：在 3×5 = 15 关系时

我们得到： 3^4÷15 ≡ 6

这时有： 6^n÷15 ≡ 6 （n = 1、2、3 ……）

所以我们称6是因数3的15值的方幂余式黑洞数。

为了方便,我们引入符号 ⊙（m）a = L 来表示方幂余式黑洞数关系。即上式结果可表示为 ⊙（15）3 = 6，符号“⊙”在这里读作黑洞数。

下面我们将证明方幂余式黑洞数定理；

定理1： 如a＞1， b＞1，（a ，b）=1 且 ab = m ；

则有：a^ф（b）≡⊙ （mod m）

即这时：⊙^n ≡⊙ （mod m）

其中：n = 1、2、3 ……

证：我们分别对b为素数，b为素数乘方，b为多个素数乘积时的情况加以证明。

当b为素数时：

取a=7， b=19， 则 ab = 7×19 = 133

由定理关系得到：

7^ф（19）=7^18≡77 （mod 133）

而 77^n≡77 （mod 133） 此时定理关系成立

当b为素数的n次乘方时：

取 a = 7， b=5^2=25， 则 ab = 7×25 = 175

由定理关系得到：

7^ф（25）=7^20≡126 （mod 175）

而 126^n≡126 （mod 175） 此时定理关系也成立

当b为多个素数乘积时：

取 a = 7， b= 3×11=33，则 ab = 7×33 = 231

由定理关系得到：

7^ф（33）=7^20≡133 （mod 231）

而 133^n≡133 （mod 231） 所述定理关系式成立

故定理1得证

方幂余式黑洞数性质及应用

1、因数a的黑洞数减1的平方除m的余数是因数b的黑洞数；

即：如 ⊙(m)a = e1， 则 (e1-1)^2÷m ≡ e2 = ⊙(m)b

2、m所含黑洞数的个数等于m所含素因数个数做为2底方次数减2；

即：m为素数没有黑洞数

m有2个素因子时有2^2-2 = 2个黑洞数

m含有3个素因子时有2^3-2 = 6个黑洞数

3、在m定值后，如果把全部 an (n = 1、2、3 …… 但n≠b) 值都做为底数，这时的

a^c÷m≡⊙的c值变化规律。与m的余数循环节a^c÷m≡1规律具有相同的变节和不变节特性。

即： 若 7^10≡⊙ （mod m） 关系成立，

则 （7^2）5≡⊙ （mod m） 关系也成立；

应用方面的例子：

若 b＞c ，我们有以下二元一次方程ax -by -c = 0 求根法则：

首先： 取 ab = m

计算： a^ф（b）÷m ≡ ⊙

计算： ⊙×c ÷m ≡S1

计算： （⊙-1）×c ÷m ≡S2

x =S1÷a

这时

y =S2÷b

这时的 x，y 值是方程的最小整数根。

但方程 ax- by- c = 0 有无限多组整数根，它的全部整数根集可表示为：

x = S1÷a + b n

y = S2÷b + a n

其中：n = 0、1、2、3 ……

实例1：求方程13x- 7y -3 = 0 的最小整数根和全部整数根？

首先： 取13×7 = 91

计算： 13^ф（7）=13^6÷91 ≡ 78

计算： 78×3÷91 ≡52

计算： （78-1）×3÷91 ≡49

x =52÷13=4

这时

y =49÷7=7

这时的 x，y 值是方程的最小整数根。

但方程 ax- by- c = 0 有无限多组整数根，它的全部整数根集可表示为：

x = 4 + 7n

y = 7 + 13n

其中：n = 0、1、2、3 ……

实例2：求方程13x- 8y +4 = 0 的最小整数根和全部整数根？

首先： 取13×8 = 104

计算： 13^ф（8）=13^4÷91 ≡ 65

计算： 65×（-4）÷104 ≡ -52≡52

计算： （65-1）×（-4）÷104 ≡ -48≡56

x =52÷13=4

这时

y =56÷8=7

这时的 x，y 值是方程的最小整数根。

但方程13x- 8y +4 = 0 有无限多组整数根，它的全部整数根集可表示为：

x = 4 + 8n

y = 7 + 13n

其中：n = 0、1、2、3 ……

黑洞数123，可称西西弗斯串。相传，西西弗斯是古希腊时一个暴君，死后被打入地狱。此人力大如牛，颇有蛮力，上帝便罚他去做苦工，命令他把巨大的石头推上山。他自命不凡，欣然从命。可是将石头推到临近山顶时，莫明其妙地又滚落下来。于是他只好重新再推，眼看快要到山顶，可又“功亏一篑”，石头滚落到山底，如此循环反复，没有尽头。

如果随便选一个很大的数，作为一块“大石头”43005798。我们以此为基础，按如下规则转换成一个新的三位数。百位数是8位数中的偶数个数（0作为偶数），十位数是8位数中奇数的个数，个位数是原数的个数。于是得出新数为448，448作同样的变换，3个偶数，百位数是3，奇数有0个，一共3位数。于是就得出303，再经转换就得到123。一旦得到123后，就再也不变化了。好比推上山的石头又落到地上，一番辛苦白费。

如果你有兴趣，可以换上别的自然数来试。尽管步数有多有少，但最后总归是123。

如2007630。偶数个数为5，奇数个数为2，一共7位数，则得新数为527，结果还是百位数为1。因为只有1个偶数。因为奇数个数为2，所以十位数为2。一共3位数，最后还是进入“黑洞数”123。

有人还是不服气，西西弗斯没有本领把大石头推上山，带一块小石头总可以吧。那就是你不知道“黑洞”的厉害，这个禁区不讲情面，金科玉律不可违背。

如选个1，根据上面的变换规则，百位数为0（无偶数），十位数即奇数为1，只有1位数，即为011，最后还是黑洞数123。

如以11计算，则可转换为022→303→123。