秩2向量丛

更新时间:2024-05-21 15:30

秩2向量丛是比线丛更复杂的向量丛。 直观上说,就是底流形上每点处的2维向量空间的粘合。秩2向量丛局部上拓扑平庸, 但整体上未必拓扑平庸。

向量简介

曲面上的切丛余切丛都是秩二向量丛,它们反映了曲面本身的性质。

设E是秩二向量丛, E'是其对偶丛,那么E'=E(-det E).

性质应用

陈类

秩2向量丛有两个陈示性类 (简称陈类 ,chern class) c1和c2. 这两个示性类扮演了重要的角色。 按照向量丛陈类计算的分裂原理, 假想该向量丛可以分裂成两个线丛的直和,那么c1和c2可以通过这两个线丛被表达。

比如在代数曲面上,c1就是det(E)--可看成两线丛对应的除子之和, c2就是两个除子的相交数

特别是代数曲面的余切丛的陈类c1称为典范除子,记为K. 其自交数K^2称为典范体积 。

c2就是欧拉示性类 χ.

分裂性

代数几何中, 秩2向量丛是非常重要的一类对象。 人们想知道,一个秩二向量丛何时分裂。

射影直线上任何向量丛都可分裂为线丛之和,因此秩二向量丛分裂为两个线丛直和。

在射影曲面上,存在不分裂的秩二向量丛。

对n维射影空间,n≧6, 人们猜测秩2向量丛必定分裂。 这个猜想也叫做哈兹霍恩猜想.

波格莫罗夫不等式

秩二向量丛陈类c_1, c_2 如果满足不等式c_1^2>4c_2, 那么它必定不是半稳定的。

这就是著名的波格莫罗夫不等式。 它和代数曲面的宫岗-丘(Miyaoka-Yau)不等式在代数曲面理论中有着广泛而深刻的应用。

波格莫罗夫定理诱导了著名的瑞德(Reider)方法, 为研究某类特殊线性系的性质提供了强有力的工具。

它还被应用于代数曲线 理论中最著名的凯莱-巴拉赫问题,即研究一条曲线经过另外两条曲线的交点的问题。 这个著名的问题可以被演化为许许多多射影几何中的经典定理, 比如帕斯卡定理等等。

三次覆盖

三次覆盖就是曲面之间的全纯映射π:X→Y , 使得映射次数degπ=3.

一个三次覆盖对应了一个秩二向量丛 E. 反过来, 秩2向量丛张量上一个线丛后可以对应某个三次覆盖。这样, 研究三次覆盖的问题等价于研究向量丛的问题。

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