更新时间：2024-03-12 11:59
莫尔斯函数是微分拓扑学的一个重要函数。微分流形M上的光滑函数f:M→R，若f所有的临界点都是非退化的，则称为莫尔斯函数。
莫尔斯函数是微分拓扑学的一个重要函数。
微分流形M到R的函数，其临界点都是非退化的。设M是n维微分流形，f:M→R为C∞函数，p∈M是f的临界点，(U,φ)是M的含p的卡，坐标函数为(x1,x2,...,xn)，则 记 称为f关于卡(U,φ)在p处的海赛矩阵。若海赛矩阵Hf(p)非退化，则称p是f的非退化临界点，此时Hf(p)的负特征值个数称为p的指数。临界点p的非退化性及指数与含p的卡的选取无关。
下述著名的莫尔斯引理给出光滑函数f在非退化的临界点邻域的局部性质。
设p∈M是C∞映射f:M→R的指数为r的非退化临界点，则存在M的含p的卡，使得φ(p)=0，并且∀u=(u1,u2,...,un)∈φ(U)，微分流形M上的光滑函数f:M→R，若f所有的临界点都是非退化的，则称为莫尔斯函数。
由莫尔斯引理知，当M是紧致流形时，M上的莫尔斯函数仅有有限个临界点。
莫尔斯函数的所有临界点的集合为M的离散闭子集。
对于任意微分流形M，M上的全体莫尔斯函数的集合在中是开的稠密子集。
由于M上的莫尔斯函数与M的拓扑性质有密切关系，所以莫尔斯函数是一类有重要意义的函数，它的性质有着广泛应用。例如，黎泊定理、紧致曲面的拓扑分类等都用到它。