更新时间:2024-10-04 13:21
蝴蝶定理(Butterfly Theorem),是古代欧氏平面几何中最精彩的结果之一。这个命题最早出现于1815年,由W.G.霍纳提出证明。而“蝴蝶定理”这个名称最早出现于《美国数学月刊》1944年2月号,题目的图形像一只蝴蝶。这个定理的证法不胜枚举,仍然被数学爱好者研究,在考试中时有各种变形。
∴DS/FS=DE/FC
根据垂径定理得:DL=DE/2,FT=FC/2
∴DS/FS=DL/FT
又∵∠D=∠F
∴△DSL∽△FST
∴∠SLD=∠STF
即∠SLN=∠STM
∴∠OSN=∠OLN=90°
∴O,S,N,L四点共圆(对角互补的四边形共圆),
同理,O,T,M,S四点共圆
∴∠STM=∠SOM,∠SLN=∠SON(同弧所对的圆周角相等)
∴∠SON=∠SOM
∴∠OTS=∠OMS,∠OLS=∠ONS(同弧所对的圆周角相等)
∴∠OMS=∠ONS
∵OS⊥AB
∴在△OSM和△OSN
∠MSO=∠NSO
∠OMS=∠ONS
OS=OS
∴△SOM≌△SON(AAS)
∴MS=NS
从X向AM和DM作垂线,设垂足分别为X'和X''。类似地,从Y向BM和CM作垂线,设垂足分别为Y'和Y''。
(证明过程见图1)
(证明过程见图2)
(证明过程见图3)【此方法也可证明蝴蝶定理的一般形式:坎迪定理】
连接CO、EO并延长分别交圆O于I、J,连接IF、DJ交于K,
连接GK、HK。由帕斯卡定理得:M、O、K共线
∵M为AB中点 ∴KM⊥AB∴∠GMK=∠HMK=90°
又∵CI、EJ为⊙O直径
∴∠GFK=∠HDK=90°
又∵∠GMK=∠HMK=90°
∴∠GMK+∠GFK=∠HMK+∠HDK=90°+90°=180°
∴G、F、K、M共圆,H、D、K、M共圆
∴∠GKM=∠GFM,∠MKH=∠MDH
又∵∠GFM=∠MDH
∴∠GKM=∠MKH
又∵∠GMK=∠HMK=90°
∴△GMK≡△HMK(ASA)
∴GM=MH
如图4,过H作DG的平行线,交DF于K,交GE的延长线于L。
则△GIC∽△LHC,△DIC∽△KHC
∴
两式相乘,得~~~①
又,∠L=∠G=∠F
∵∠EHL=∠KHF
∴△EHL∽△KHF
∴
∴(相交弦定理)
∵AC=BC
代入上式得
又∵(相交弦定理)
将上述两式全部代入①中,得
∴IC=HC
1.构造特殊情况:如图5中图1,A'B'、C'D'、M'N'为⊙O'内三条直径,A'D'∩M'N'=P',B'C'∩M'N'=Q',则由圆中心对称性知P'O'=Q'O'.
2.中心投影:在不属于⊙O'所在平面的空间上任取一点T作为投影中心,用平行于直线M'N'的平面截影,则圆O'被射影为椭圆,线段M'N'被射影为与之平行的M''N'',如图5中图2,则对应存在P''O''=Q''O''.
3.仿射:将图5中图2的椭圆仿射为圆,如图5中图3,由仿射不变性知PO=QO.
利用曲线系可以证明任意圆锥曲线(包括退化情形)的蝴蝶定理。
圆锥曲线C上弦PQ的中点为M,过点M任作两弦AB,CD,弦AD与BC分别交PQ于X,Y,则M为XY之中点。
证明:以PQ所在直线为x轴,M为坐标原点建立直角坐标系。
由于直线AB、CD经过原点M,其方程可分别设为,其中系数不全为0。则方程C1:表示这两条直线。
又设已知圆锥曲线方程C2为
那么,经过ABCD四点的曲线系C可写成:
设P(-t,0),Q(t,0),则P、Q的坐标满足方程C2,即
两个方程相减即得d=0,即C2中不含关于x的一次项。
回到曲线C中,令y=0,得C与x轴交点的横坐标x满足:
这是一个关于x的一元二次方程,因一次项系数为0,韦达定理得x1+x2=0
也就是说,曲线C与x轴的两个交点关于原点M对称。
因为弦AD、BC组成一条通过ABCD的曲线C,它和x轴交于X,Y,所以有MX=MY。
该定理实际上是射影几何中一个定理的特殊情况,有多种推广:
1.蝴蝶定理的圆外形式
如图6,延长圆O中两条弦AB与CD交于一点M,过点M做OM垂线,垂线与CB和AD的延长线交于E、F,则可得出ME=MF(证明方法可参考蝴蝶定理的证法2、3、4)
2.在圆锥曲线中
通过射影几何,我们可以非常容易的将蝴蝶定理推广到普通的任意圆锥曲线(包括椭圆,双曲线,抛物线,甚至退化到两条相交直线的情况)。
圆锥曲线C上弦PQ的中点为M,过点M任作两弦AB,CD,弦AD与BC分别交PQ于X,Y,则M为XY之中点。
而通过投影变换可以非常容易证明这个定理。
射影几何里面关于投影变换有一个重要结论,对于平面上任意两个圆锥曲线C1,C2.任意指定C1内部一个点A1和C1上面一个点B1,另外任意指定C2内部一个点A2和C2上面一个点B2,存在唯一一个投影变换将曲线C1变换到C2而且A1变换到A2,B1变换到B2.
由此对于本题,也可以通过投影变换将C1变换成一个圆M,而将弦PQ的中点M变换成这个圆的圆心。
在此变换以后,弦AB和CD都是圆M的直径而且四边形ACBD是圆M内接矩形,PQ也是一条直径,由对称性显然得出投影变换后M为X,Y的中点。又因为变换前后M都是线段PQ的中点,由此可以得出在直线PQ上这个变换是仿射变换,所以变换前M也是XY的中点。
例题:
如图7,椭圆的长轴A1、A2与x轴平行,短轴B1B2在y轴上,
中心为M(o,r)(b>r>0)。
(I)写出椭圆的方程,求椭圆的焦点坐标及离心率
(II)直线y=k1x交椭圆于两点C(x1,y1),D(x2,y2)(y2>0);直线y=k2x交椭圆于两点G(x3,y3),H(x4,y4)(y4>0)。求证:k1x1x2/(x1+x2)=k2x3x4/(x3+x4)
(III)对于(Ⅱ)中的C,D,G,H,设CH交X轴于点P,GD交X轴于点Q。
求证: | OP | = | OQ |。(证明过程不考虑CH或GD垂直于X轴的情形)
从x向AM和DM作垂线,设垂足分别为X'和X''。
类似地,从Y向BM和CM作垂线,设垂足分别为Y'和Y'
设:k1x1x2/(x1+x2)=k2x3x4/(x3+x4)为①式,两边同取倒数,得为
1/k1x2+1/k1x1=1/k2x4+1/k2x3 ①’
设:x1x4/(k1x1-k2x4)=-x2x3/(k1x2-k2x3)为 ②式,两边同取倒数,得k1/x4-k2/x1=k2/x2-k1/x3,移项得k2/x1+k2/x2=k1/x3+k1/x4 ②’
将①’两边同乘以k1·k2,即得
k2/x1+k2/x2=k1/x3+k1/x4
它与②’完全一样。这里利用两式同时变形的方法可以较容易实现目的,有分析、有综合,有思维,有运算。思路的选择有赖于对式子特征的观察联想。
纵观这道题的题目特征及解答过程,我们看到了用代数方程方法处理几何问题的作用与威力。
3.在筝形中
在筝形ABCD中,AB=AD,BC=CD,过直线BD上一点P任作两条直线,一条与直线 AD、BC 交于E、F,另一条与直线 AB、CD 分别交于 G、H,直线 GF、EH 分别与 BD 交于 I、J。则
特别地,当点 P 为 BD 中点时,有 PI=PJ。此时本题为1990年中国中学生数学冬令营选拔考试试题,被称为筝形蝴蝶定理。
证明如图8。
4.坎迪定理
去掉中点的条件,结论变为一个一般关于向量的比例式,称为「坎迪定理」,这对2,3均成立
这个命题最早作为一个征解问题出现于公元1815年英国的一本杂志《男士日记》(Gentleman's Diary)39-40页(P39-40)上。有意思的是,直到1972年以前,人们的证明都并非初等,且十分繁琐。
这篇文章登出的当年,英国一个自学成才的中学数学教师W.G.霍纳(他发明了多项式方程近似根的霍纳法)给出了第一个证明,完全是初等的;另一个证明由理查德·泰勒(Richard Taylor)给出。
另外一种早期的证明由M.布兰德(Mile Brand)1827年的一书中给出。最为简洁的证法是射影几何
“蝴蝶定理”这个名称最早出现于《美国数学月刊》1944年2月号,题目的图形象一只蝴蝶。
1981年,Crux杂志刊登了K.萨蒂亚纳拉亚纳(Kesirajn Satyanarayana)用解析几何的一种比较简单的方法,利用直线束,二次曲线束。
1990年,CMO出现了筝形蝴蝶定理。
蝴蝶定理是古典欧式平面几何的最精彩的结果之一。这个定理的证法不胜枚举,仍然被数学热爱者研究,在考试中时有出现各种变形。