q-费米气体的统计性质

当q<1 和µ>0时，费米子的能量不应比化学势大。在零温时费米能级EF下的所有能级都被费米子，而费米能级EF上的所有能级都是空的。

当 q≠1 时费米体系的化学势不仅依赖于温度而且依赖于参数q 和δ。当q>1时，费米体系的化学势小于费米能。当 q<1时，费米体系的化学势大于费米能。当q<1相同时费米体系的热容量随q 而增加但不是温度的单调函数。当q>1时， 费米体系的热容量随温度单调增加。当 q<1时，费米体系的热容量趋于零。当 q=1 时费米体系的热容量是温度的单调函数。

（1）无论在低温还是高温条件下，磁场总是引起费米体系的能量的减小和化学势的增加，在高温下热容量增加而在低温下热容量减小，还减小了系统的稳定性。在高温下磁场对热力学量的影响与温度有关，温度越高影响越弱。在低温下磁场对能量和化学势的影响与温度有很小的相关性。磁场对能量和热容量的影响与总粒子数成正比，但磁场对化学势的影响与总粒子数无关。

（2）吸引（排斥）作用总是增加（减小）费米体系的能量，减小（增加）费米体系的顺磁性，在高温下相互作用对顺磁性的影响与温度有关，温度越高影响越弱。在低温下相互作用对顺磁性的影响与温度无关，但与费米温度有关。吸引（排斥）作用总是增加（减小）费米体系的化学势，在高温下排斥（吸引）作用通过磁场减小（增加）费米体系的热容量，在低温下排斥（吸引）作用不会通过磁场增加（减小）费米体系的热容量。粒子间的相互作用不仅直接而影响热力学性质，也会调节磁场对热力学性质的影响，排斥（吸引）作用总是通过磁场增加（减小）对费米体系化学势的影响。排斥（吸引）作用总是增加（减小）对费米体系的稳定性。同时考虑自旋和轨道运动，在高、低温条件下相互作用对热容量的影响相反。

低温性质

只要T≠0，磁场对费米气体统计性质的影响包含谐振和非谐振两个部分，对于非谐振部分，与弱磁场中的费米气体相比较，磁场对化学势、费米能和稳定条件的影响发生了改变。对谐振部分，磁场影响了谐振的周期和振幅。谐振周期很小并且正比于σB/εF，在T~σB条件下，谐振的振幅正比与因子σB/εF。费米体系的基态能和费米能没有谐振，与自由费米气体相比较，磁场总是降低费米体系基态能和费米能，当T≠0时，由于化学势有谐振，在特殊的磁场和温度条件下，费米体系的化学势也许比费米能大。

从费米体系热力学量的的分析中可以看出，与非谐振部分相比较，费米体系的总能量比较小，热容量比较大，而化学势则相同。在T~σB和σB/εF<< 1条件下，即使有震荡部分，费米体系也能保持热力学稳定性。

相对论效应

相对论效应对能量、化学势、平均磁矩的影响仍然分为两部分，即随磁场变化的振荡部分与单调（非振荡）部分.由于µ≫σB ,从随磁场变化的单调部分来看，相对论效应使总能、化学势降低，而使磁矩增加。其量值分别比例于： 、 、 。显然这些量值都与磁场B成正比，而且也与粒子数密度n有关.相对论效应对热容量的影响仅有振荡部分，在T∼σB 的条件下，其振幅比例于 。

在考虑相对论效应所产生的振荡项中，振荡的频率或周期仍然与非相对论情况相同，只是振荡的相位比非相对论情况落后了π/2。在T∼σB 的强磁场条件下，总能、化学势、磁矩的振幅分别比例于： 、 、 ；相应的振幅与单调部分的比值分别为： 、 、 。由此表明，考虑相对论效应所引发的单调项与振荡项的振幅二者相比较，对于总能，单调项远大于振幅；对化学势和磁矩而言，单调项与相应的振幅几乎同一量级，且二者的比值与磁场、温度无关。

费米气体的统计规律有：费米-狄拉克统计，非广延统计。

费米气体是理想气体的量子力学版。在金属内的电子、在半导体内的电子、或在中子星里的中子，都可以被视为近似于费米气体。在一个处于热力平衡的费米气体里，费米子的能量分布，是由它们的密度，温度，与容许能量量子态集合，依照费米-狄拉克分布方程而决定的。泡利不相容原理阐明，不容许被两个或以上的费米子占用同一个量子态。因此，在绝对零度，费米气体的总能量，大于费米子数量与单独粒子基态能量的乘积。并且，在绝对零度，费米气体的压力，称为“简并压力”，不等于零。这与经典理想气体的现象有很明显的不同。简并压力使得中子星或白矮星能够抵抗万有引力的压缩，因而得到稳定平衡，不致向内爆塌。

在低温下，玻色原子气体可以形成玻色-爱因斯坦凝聚(Bose-Einstein condensation, BEC)，这是由Einstein在1925年的理论而预言的。费米子由于泡利不相容原理，不能形成BEC。但可通过Feshbach共振，利用磁场调节费米原子间的相互作用，使费米子配对转变成玻色型粒子而形成BEC。

由于前述定义忽略了粒子与粒子之间的相互作用，费米气体问题约化为研究一群独立的费米子的物理行为的问题。这问题本身相当容易解析。一些更深奥，更进阶，更精密的理论，牵涉到粒子与粒子之间的互相作用的理论（像费米液体理论或相互作用的微扰理论），时常会以费米气体问题为研究的开端。

关于量子气体的研究最早可追溯到 20 世纪20 年代。1926 年6 月24 日，印度S.Bose用英文写了题为《Plank 准则和光量子假设》的论文，认为热辐射是全同的光子气体，并服从于Bose -Einstein 统计理论推导出Plank 热辐射光谱分布黑体辐射公式。7 月又寄给 A.Einstein.，Einstein 认识到其重要性，将Bose 的方法推广到单原子理想气体，认为当理想气体温度很低时会冻结在尽可能低的系统能级上。次年又指出当原子的 deBroglie 热波长大于原子间的平均距离时，才会出现凝聚。而在 1926 年初, 费米在《关于单原子理想气体的最子化》中首先在旧量子论的框架提出了 Fermi-Dirac 统计理论。这篇论文先在意大利发表,后被他译成德文，寄给当时物理学方面权威性的杂志—德国《物理期刊》，同年 3月26 日收到并发表。同年8 月，狄拉克《关于量子力学理论》在英国皇家学会刊物上刊出。在这篇论文中, 狄拉克接受波动力学新理论，把握住量子统计的核心——体系波函数的对称性，也独立地提出了 Fermi-Dirac 统计理论。按照另一种说法，约当 1925 年建立了同样的统计，只是称之为泡利统计，但是并没有发表。然而狄拉克认为这首先由费米发现，因而称之为费米统计，相应的粒子称为费米子。1926年，福勒首先用费米-狄拉克统计描述星体塌缩为白矮星。1927 年索末菲把它应用于金属中的电子，1928 年福勒和Nordheim 把它应用于金属中的场电子发射。因而费米-狄拉克统计成为物理学中的重要部分。20 世纪50 年代之前，量子统计（Quantum Statistical）一般处理无相互作用的量子气体，即理想费米和玻色气体。由于理论上和数学上的困难，还不能处理有相互作用的实际体系。

五十年代开始，由基本粒子研究而发展起来的量子场论逐步成熟，量子场论方法（有效平均场理论、微扰论、变分法、密度泛函理论、费曼图、格林函数方法、路径积分方法、重整化群、共形场论等）开始进入量子统计领域，在若干基本理论问题中解决了多个有实际意义的难题，从此，量子统计理论得到迅速的发展，很快成为理论物理中的重要分支，并为量子体系基本理论的研究提供了有效的理论方法和实际的检验场所。