更新时间:2024-07-15 16:26
在三角形的三边各向其外侧作等边三角形,这三个等边三角形的外接圆交于一点T,该点T即称为托里拆利点(Torricelli's point ),而三个等边三角形的外接圆称为托里拆利圆。在一定条件下,托里拆利点和正等角中心、费尔马点等是一回事。托里拆利点是由意大利物理学家托里拆利发现的。该问题是费马德国斯太纳((1796-1863)独立提出并推广了它,故又称斯太纳问题。
在 的外侧分别作正三角形 ,这三个正三角形的外接圆(托里拆利圆)相交于一点M,则点M称为托里拆利点。三个内角皆小于120°的 的托里拆利点有如下特性:它到 三顶点的距离之和AM+BM+CM是三角形内点中到三顶点距离之和中最小的。
意大利学者托里拆利(E.Torricelli,1608-1647),首先研究了托里拆利点的问题,因而得名。
在一定条件下,托里拆利点和正等角中心、费尔玛点是同一点,只不过提出的角度不同。托里拆利点是从共点圆方面提出,正等角中心是从共点线方面提出,费尔玛点则是从几何极值方面提出的。
相关介绍
费马点问题最早是由法国数学家皮埃尔·德·费马在一封写给意大利数学家埃万杰利斯塔·托里拆利(气压计的发明者)的信中提出的。托里拆利最早解决了这个问题,而19世纪的数学家斯坦纳重新发现了这个问题,并系统地进行了推广,因此这个点也称为托里拆利点或斯坦纳点,相关的问题也被称作费马-托里拆利-斯坦纳问题。这一问题的解决极大推动了联合数学的发展,在近代数学史上具有里程碑式的意义。
例1 在 的边上向形外(形内)作正 ,
证明:直线 相交于一点,并求这个点的三线性坐标。
这个点叫做第一(第二)等角中心,第一等角中心也称做托里拆利点或费马点。
提示 点 具有三线性坐标 ,其中上面的符号对应向外作三角形,下面的符号对应向内作三角形,所以直线 用方程 给出,因此三线性坐标为
的点是直线 的交点。
《将军巡营》解
三座兵营分别设置在大片开阔地的三处,将军经常要去巡视。他从自己的指挥所出发,到达第一兵营后回到指挥所;再去到第二兵营后回到指挥所;最后又去到第三兵营后回到指挥所。一天,他忽然想到要把指挥所搬到少走路程的地方,却拿不定主意,不知指挥所应放在哪儿才合适。
这则民间传说引起许多人的兴趣,进行研究这个问题的大有人在。经历了不知多少年,谜底始终没有被揭开,便一直成为悬案,称为(将军巡营)问题。
以每座兵营为一个点,三座兵营作为顶点,便构成—个三角形。那么,指挥所可拟作三顶点以外的另一个点,于是问题可以叙述为:试确定一点,使它至三顶点往返的距离和为最小。
往返的距离和最小,相应地,单程的距离和也最小。这样,《将军巡营》问题实质上就是“试求一点,使它到已知三角形的三顶点距离之和为最小。”这样一个极值问题。
根据那则民间传说提出这个极值问题的就是费马,后人从他致意大利物理学家托里拆利(1608-1647)的信中见到它。
对于这类几何极值的问题,费马相当熟悉它的解法。
最简明的解法是应用“等角特征”原理。见图2,如果三角形ABC中有一点P,那么,当 时,这点便是费马所提出求解的那个点,即P点是到A、B、C三点距离之和最小的点。若另取一点 ,必有
《将军巡营》问题是由费马解决的,将军的指挥所放在哪儿?也是费马向托里拆利提出的那个点,后人称为“费马点”。
显然,要使确定的P点产生三等角,只有当三角形的每个内角都小于120。时才存在。这样,费马点究竟在哪儿,就有以下答案:
若已知三角形的每个内角都小于120°,则所求的点即是与三顶点构成三等角的点:若已知三角形有一内角大于或等于120°,则所求的点是这个三角形的最大内角的顶点。
怎样确定费马点?见图3,分别以三角形的三边为—边,向形外作等边三角形 ,则 的任两线交点便是费马点(实际上是三线汇交于一点P),这点也叫三角形的“正等角中心”。
不过,托里拆利却别出心裁地用另一种方法来定费马点。图3是用共点线考虑的,而托里拆利则按共点圆考虑,分别作三个等边三角形的外接圆,则三圆汇交于一点P(图4),这是费马点,也叫“托里拆利点”,那三个圆则称为“托里拆利圆”。
一般作法是采刚折衷办法,即仅作—个等边三角形,用一个圆和-—条直线来确定费马。如图5的圆(等边三角形的外接圆)与的交点P就是所要求的点。
实际生活中的费马点也是有模型的。比如,有三个不在一条直线上的三个城镇,以这三个城镇为顶点构成的三角形的内角没有超过120度的。那么,要建造一个大型购物中心,要求从三个城镇到这个购物中心之间都建造一条直线形的公路,为了使造路费用最小,当然要使这三条路的长度之和最小。问购物中心应该建造在何处?答案是:购物中心建造在以三个城镇为顶点构成的三角形的费马点处。