更新时间：2024-09-24 11:11
设p,q,r∈[1,∞]，。对任意S∈与T∈，有ST∈，与
设 ， 。令 和 是非负实数。那么
仅当 中至少有一个为零数列或者 ，且，使得 ,
证明：记,则式子
即
因为f(x)=lnx(x>0)是向上凸函数（因为)，由加权Jensen不等式，可得
所以
把上式对i到m求和 得：
从而命题得证。
假设 ， 。如果 ， ，那么
(有限和和无穷和)
设 或 为实数或复数列，a叫做多重指标，令
满足条件的p，q称为共轭指数，q=1是规定p=∞,
若1≤p≤∞，则
若0
1
设p、q为共轭指数，令
若
当 时， ,且
即， …………………… ①
………… …………②
若0 时，仅当，使得 和 在E上几乎处处成立时①式成立 p=1时，仅当 ，使得 a.e.(almost everywhere)于E，且 时， ②式成立 如果||f||p= 0，那么f在μ-几乎处处为零，且乘积fg在μ-几乎处处为零，因此赫尔德不等式的左端为零。如果||g||q=0也是这样。因此，可以假设||f||p>0且||g||q>0。 如果||f||p= ∞或||g||q=∞，那么不等式的右端为无穷大。因此，可以假设||f||p和||g||q位于(0,∞)内。 如果p= ∞且q= 1，那么几乎处处有|fg| ≤ ||f||∞|g|，不等式就可以从勒贝格积分的单调性推出。对于p=1和q=∞，情况也类似。因此，还可以假设p,q∈ (1,∞)。 分别用f和g除||f||p||g||q，可以假设： 现在使用杨氏不等式： 对于所有非负的a和b，当且仅当时 等式成立。 因此： 两边积分，得： 这便证明了赫尔德不等式。 在p∈ (1,∞)和||f||p= ||g||q= 1的假设下，等式成立当且仅当几乎处处有 。更一般地，如果||f||p和||g||q位于(0,∞)内，那么赫尔德不等式变为等式，当且仅当存在α,β>0（即α= ||g||q且β= ||f||p），使得： μ-几乎处处(*) ||f||p= 0的情况对应于(*)中的β=0。||g||q=的情况对应于(*)中的α=0。