更新时间：2023-05-15 11:36
数学上，若两个实数p，q>1，且1/p+1/q=1 ，称p，q为共轭指数（conjugate indices），一般定义q=∞为p=1的共轭指数。
若 ，且 ，称 互为共轭指数。
引理1设 是一对共轭指数，则对任何正数A，B，有
等号仅当 时成立。
定理2设 是一对共轭指数， 是两个有穷实数列，则有赫尔德不等式
对于非零数列 ，式中等号仅当 与 对应成比例时成立。
指数 时的赫尔德不等式
叫作柯西(Cauchy)不等式，从(2)式出发，让 ，通过极限过程不难得到级数形式的赫尔德不等式
从基本(或二重)赫尔德不等式(2) 与(4)出发，可以得到多重赫尔德不等式。
定理3 设 是一组共轭指数，即 ，设 是 列实数(列长可以是有限数n，也可以是无穷)，则有多重赫尔德不等式
式中等号成立的条件是： 中存在某个列与其他各列分别对应成比例（比例系数可以不同）。
利用赫尔德不等式容易得到闵可夫斯基不等式:
定理4 设 是两列实数，则有闵可夫斯基不等式
当数列 对应成非负比例时等号成立。
定义 设 互为共轭指数，根据赫尔德不等式，对于每个 ，则
定义了 上的一个线性泛函，且
定理5设 互为共轭指数，若 ，则
那么反过来呢? 即 上的任一线性连续泛函能否表示成为 的形式呢?回答是肯定的，这个结果就是Riesz表示定理：
定理6设 是 的开集， 互为共轭指数，若 ，则对 中的任一线性泛函G(即 )，一定存在唯一的函数 ，使得 ，且对任意 ，下式成立:
上述定理说明: 与 等距同构。
当 时，称 是 的对偶空间。