更新时间:2023-06-29 16:06
在一个排列中,如果一对数的前后位置与大小顺序相反,即前面的数大于后面的数,那么它们就称为一个逆序。 一个排列中所有逆序的总数叫做这个排列的逆序数。
定义1 由自然数1,2,...,n 组成的一个有序数组称为一个n级排列(简称为排列)。
例如,2431是一个四级排列,45321是一个五级排列。
注:n级排列的总数是
显然,1,2,...,n也是一个n级排列,这个排列具有自然顺序,就是按递增的顺序排起来的;其它的排列都或多或少地破坏自然顺序。
定义2 在一个排列中,如果一对数的前后位置与大小顺序相反,即前面的数大于后面的数,那么它们就称为一个逆序。
注:1.对于n个不同的元素,先规定个元素之间有一个“标准次序”(例如n个不同的自然数,可规定由小到大为标准次序),于是在这n个元素的任一排列中,当某两个元素的先后次序与标准次序不同时,就有1个“逆序”。
2.一个排列中所有逆序的总数叫做这个排列的逆序数。
例1 2431中的逆序有(2,1),(4,3),(4,1),(3,1),即其逆序数为4,它是一个偶排列。
例2 45321中的逆序有(4,3),(4,2),(4,1),(5,3),(5,2),(5,1),(3,2),(3,1),(2,1),即其逆序数为9,它是一个奇排列。
例3 排列1,2,...,n中没有逆序,即逆序数为零,因而它是偶排列。
利用定义,借助逆序求行列式的值。
定义3(n阶行列式的定义)
n阶行列式
等于所有取自不同行不同列的n个元素的乘积
的代数和,这里 是1,2,...,n的一个排列,每一项都按下列规则带有符号:当 是偶排列时带有正号,当是奇排列时带有负号。
这一定义可写成
其中,表示的逆序数。