递推公式

更新时间:2024-02-27 20:54

如果数列{an}的第n项与它前一项或几项的关系可以用一个式子来表示,那么这个公式叫做这个数列的递推公式。

概念

如果一个数列的第n项an与该数列的其他一项或多项之间存在对应关系的,这个关系就称为该数列的递推公式。例如斐波纳契数列的递推公式为an=an-1+an-2

等差数列递推公式:an=d(n-1)+a(d为公差 a为首项

等比数列递推公式:bn=q(n-1)*b (q为公比 b为首项)

由递推公式写出数列的方法:

1. 根据递推公式写出数列的前几项,依次代入计算即可;

2.若知道的是末项,通常将所给公式整理成用后面的项表示前面的项的形式。

递推列

亦称递归列。由前面的项能推出后面的项的数列。指对所有n>p,满足形如an=f(an-1,an-2,…,an-p)的关系式的序列{an},其中f为某个函数。p是某个固定的正整数,a1,a2,…,ap为已知数。p称为这个递推列的阶数.上述关系式称为递推公式,给定a1,a2,…,ap,可以从它得到所有an。形如an+c1an-1+c2an-2+…+cpan-p=0(c1,c2,…,cp是常数)的递推公式称为线性递推公式,相应的序列称为线性递推列。最简单的递推列是一阶递推列,即满足an=f(an-1)的序列{an}.它又称迭代列。等差数列等比数列都是线性的迭代列。

等比数列

等比数列是指从第二项起,每一项与它的前一项的比值等于同一个常数的一种数列,常用G、P表示。这个常数叫做等比数列的公比,公比通常用字母q表示(q≠0),等比数列a1≠ 0。其中{an}中的每一项均不为0。注:q=1 时,an为常数列

等比公式

(1)定义式:

(2)通项公式(等比数列通项公式通过定义式叠乘而来):

(3)求和公式:

求和公式用文字来描述就是:Sn=首项(1-公比的n次方)/1-公比(公比≠1)如果公比q=1,则等比数列中每项都相等,其通项公式为,任意两项,的关系为;在运用等比数列的前n项和时,一定要注意讨论公比q是否为1.

(4)从等比数列的定义、通项公式、前n项和公式可以推出:

(5)等比中项

若,那么为等比中项。

另外,一个各项均为正数的等比数列各项取同底数后构成一个等差数列;反之,以任一个正数C为底,用一个等差数列的各项做指数构造幂Can,则是等比数列。在这个意义下,我们说:一个正项等比数列与等差数列是“同构”的。

等比中项定义:从第二项起,每一项(有穷数列的末项除外)都是它的前一项与后一项的等比中项。

等比中项公式:或者。

(6)无穷递缩等比数列各项和公式:

无穷递缩等比数列各项和公式:公比的绝对值小于1的无穷等比数列,当n无限增大时的极限叫做这个无穷等比数列各项的和。

等差数列

从第二项起,每一项都等于前一项加上同一个数d的有限数列或无限数列。又叫算术数列.这个数d称为等差数列的公差。

等差数列从第二项开始每一项是前项和后项的算术平均数

如果等差数列的公差是正数,则该等差数列是递增数列;如果等差数列的公差是负数,则该数列是递减数列;如果等差数列的公差等于零,则该数列是常数列。

对于一个数列al,a2,…,an,…,如果它的相邻两项之差a2-a1,a3-a2,…,an+1-an,…构成公差不为零的等差数列,则称数列{an}为二阶等差数列。

运用递归的方法可以依次定义各阶等差数列:对于数列{an},如果{an+1-an}是r阶等差数列,则称数列{an}是r+1阶等差数列.二阶或二阶以上的等差数列称为高阶等差数列

r阶等差数列的通项公式可以用一个关于项数n的r次多项式来表示,反之,通项公式为项数n的r次多项式的数列必为r阶等差数列。

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