更新时间：2023-01-08 17:12
这个定理建立了希尔伯特空间与它的对偶空间的一个重要联系：如果底域是实数，两者是等距同构；如果域是复数，两者是等距反同构。在泛函分析中有多个有名的定理冠以里斯表示定理（Riesz representation theorem），它们是为了纪念匈牙利数学家弗里杰什·里斯。
给定赋范空间H中向量η，则H的对偶空间H*中连续线性泛函f可唯一表示为
该映射 是一个反线性等距同构。
这个定理建立了希尔伯特空间与它的连续对偶空间的一个重要联系：如果底域是实数，两者是等距同构；如果域是复数，两者是等距反同构。如下所述，（反）同构是特别自然的。
设是一个希尔伯特空间，令表示它的对偶空间，由从到域或的所有连续线性泛函。如果 是中一个元素，则函数定义为
是的一个元素，这里 表示希尔伯特空间的内积。里斯表示定理断言中任何元素都能惟一地写成这种形式。
定理：映射
是一个等距（反）同构，这就是说：
是双射。
的范数与的范数相等：。
可加：。
如果底域是，则 对所有实数。
如果底域是，则对所有复数，这里表示的复共轭。
的逆映射可以描述为： 给定中一个元素，核的正交补是的一维子空间。取那个子空间中一个非零元素，令 。则 Φ(x) = φ。
历史上，通常认为这个定理同时由里斯和弗雷歇在1907年发现（见参考文献）。格雷（Gray）在评论从他认为是原型的里斯（1909）一文到里斯表示定理的发展时说：“给定运算 ，可以构造有界变差函数 ，使得无论连续函数是什么，都有 ”
在量子力学的数学处理中，这个定理可以视为流行的狄拉克符号记法的根据。当定理成立时，每个右矢 有一个相应的左矢，对应是清楚的。但是存在拓扑向量空间，比如核空间，里斯表示定理不成立，在这样的情形狄拉克符号变得不合适。
下面的定理表示出 Cc(X) 上的正线性泛函，紧支集连续复值函数空间。下面所说的博雷尔集表示由开集生成的σ代数。
局部紧豪斯多夫空间X上一个非负可数可加博雷尔测度 μ 是正则的（regular）当且仅当
开 }.
紧 }
定理：设X是一个局部紧豪斯多夫空间。对Cc(X)上任何正线性泛函ψ，X上存在唯一的正则概率测度μ使得
对所有f∈ Cc(X)。
领略测度论的一个途径是从拉东测度开始，其可定义为上的一个正线性泛函。这种方式由布尔巴基采取；这里显然假设X首先是一个拓扑空间，而不仅是一个集合。若X为局部紧空间，则可重新建立一个积分理论。
下面定理也称为里斯-马尔可夫定理，给出了C0(X)的对偶空间的一个具体实现，C0(X)由X上在无穷远趋于零的连续函数构成。定理陈述中的博雷尔集同样指由开集生成的 σ代数。结论与上一节类似，但不能包含在前一个结果之中。参见下面的技术性注释。
如果μ是一个复值可数可加博雷尔测度，μ 是正则的当且仅当非负可数可加测度 |μ| 正则（上一节所定义的）。
定理：设X是一个局部紧豪斯多夫空间。对 C0(X)上任何有界线性泛函ψ，存在X上唯一正则概率测度μ使得对所有f∈C0(X)，均有
ψ 的范数作为线性泛函是 μ 的全变差（total variation），即
最后，ψ是正的当且仅当测度μ是非负的。
注：Cc(X)上任何有界线性泛函惟一延拓为C0(X)上有界线性泛函，因为后一个空间是前者的闭包。但是Cc(X) 上一个无界正线性泛函不能延拓为C0(X) 上一个有界线性泛函。因此前两个结论应用的情形稍微不同。