更新时间：2022-09-22 09:47
阿贝尔簇是域上的几何整的完备群概形，它一定是射影、光滑、交换的。椭圆曲线是阿贝尔簇的一个例子。
阿贝尔簇是一个代数群，它同时又是完全代数簇。完全性的条件蕴涵着对阿贝尔簇的严格限制。因而阿贝尔簇可以作为闭子簇嵌入射影空间；非奇异簇道阿贝尔簇道每个有理映射都是正则的，阿贝尔簇上的群律是可交换的。
复数域上的阿贝尔簇理论，本质上等价由雅可比（C.G.J,Jacobi)，阿贝尔(N.H.Abel)及黎曼 (B.Riemann) 建立的阿贝尔函数论。如果 表示 n 维向量空间， 是秩为 2n 的格，则商群 是复环面 (complex torus)。X 上的亚纯函数就是 上关于周期格 不变的亚纯函数。如果 X 上的亚纯函数域 K 的超越次数是 n，那么 X 可以有一个代数群结构。由 X 的紧性，这个群结构是唯一的，且这个结构的有理函数城与 K 重合。这样构成的代数群是一个阿贝尔簇。而且域 上的每个阿贝尔簇都可以用这种方法得到。确定 基的矩阵可以简化为形式 其中 E 是单位阵，Z是 n x n 阶矩阵。
复环面 是阿贝尔簇当且仅当 Z 对称且有正定虚部[即整曼条件(Riemamn conditions)]。这里应当指出的是，作为实李群，所有的簇 X 都同构，但是对 X 的解析或代数结构来说，这并不成立。当 形变时，它们强烈的变化。对周期矩阵 Z 的考察表明，它的变化具有解析特征，最后得出具有给定维数 n 的所有阿贝尔簇的参模族的构造。这个参模放的维数是n(n + 1)/2。
任意域 k 上的阿贝尔簇理论应归功于韦伊(A.Weil)，它在代数几何学本身及数学其他领域，特别是数论和自守函数论中，有许多应用。对每个完全代数簇，都可以函子似的关联个阿贝尔簇（阿尔巴内塞族、皮卡簇、中间雅可比簇）。这些构造都是研究代数簇几何结构的有力工具。
例如，可以得到吕罗特问题的一个解。另一个应用就是有限域上代数曲线的黎曼假设的证明——这个问题正是阿贝尔簇的抽象理论的发端。它也是 进(l-adic) 上同调的来源之一。这种上同调最简单的例子就是阿贝尔簇的泰特模。它是 阶点的群 当 时的射影极限，而这种群结构的确定正是韦伊理论的主要成果之一。事实上，若 m 与域 k 的特征 p 互素且k 是代数闭城，则群 同构于 当m = p时，情况要复杂得多。结果就是导出了诸如有限群概形、形式群 (formal group) 和 p 可除群(p-divisible group) 等概念。
对阿贝尔簇的自同态，特别是弗罗贝尼乌斯自同态在泰特模上自同态作用的研究，使得有可能证明（对有限域上的代数曲线的）黎曼假设(Riemann hypothesis)，它也是阿贝尔簇的复乘法理论中的主要工具。另一些与泰特模有关的问题包括在这个模上基域闭包的伽罗瓦群的作用的研究。由此导致泰特猜想以及泰特本田理论，它应用泰特模语言描述有限域上的阿贝尔簇。
对局部域包括 p 进域上阿贝尔簇的研究发展很快。与阿贝尔簇表示成商空间 在这种域上相类似的表示，通常称为单值化，由芒福德(D.Mumford) 和雷诺(M.Raynaud)构造出来。与复数情形不同的是，并非所有的阿贝尔簇都能被单值化，仅仅是可被模 p 约化为乘法群的那些才能被单值化。整体（数或函数）域上的阿贝尔簇的理论在丢番图几何学中起重要作用。
其主要结果是莫德尔-韦伊定理(Morell-Weiltheorem)：定义在有理数的有限扩域上的阿贝尔簇的有理点所组成的群是有限生成的。