更新时间：2024-10-29 13:06
亚纯函数（meromorphic function）是在区域D上有定义，且除去极点之外处处解析的函数。
在复分析中，一个复平面的开子集D上的亚纯函数是一个在D上除一个或若干个孤立点集合之外的区域全纯的函数，那些孤立点称为该函数的极点。
黎曼曲面上的亚纯函数
在一个黎曼曲面上，每个点都拥有一个同构于复平面上的一个开子集的开邻域。因此，在任意黎曼曲面上都可以定义亚纯函数。
当D为整个黎曼球时，亚纯函数域就是复平面上的单变量有理函数域，因为可以证明任意黎曼球上的亚纯函数都是有理函数（这是所谓的GAGA原理的一个特例）。
比如有理函数就是在扩充复平面上的亚纯函数，它是两个多项式的商而Q（z）的零点是R（z）的极点，即R（z）有有限多个极点，∞点是R（z）的极点或可去奇点。复平面上不是有理函数的亚纯函数称为超越亚纯函数。
例如ctg( z)就是超越亚纯函数，它以kπ为全部极点，超越亚纯函数一定有无限多个极点。有理函数可以分为部分分式，即其中{ak}是R( z )的全部极点 ，Pk( u )是多项式 ， 当∞点是m阶极点时，P0(z)是m阶多项式 。
函数在除去原点：0的整个复平面上有定义。但是，0不是这个函数的一个极点，而是一个本性奇点。因此，这个函数只是在C上的亚纯函数，而不是在整个复平面上的亚纯函数。
函数f(z)=ln z不是在整个复平面上的亚纯函数，因为它只在复平面上的一个孤立点集上有定义。
由于亚纯函数的极点是孤立点，它们至多有可数多个。极点的个数可以有无穷多个，例如函数：
使用解析拓延来消去可去奇点后，亚纯函数可以进行加减法和乘法的运算。当g(z)在D的连通部分上不恒为零时，还可以定义f/g。因此，当D连通时，所有的亚纯函数构成一个域，为复数域的一个域扩张。
复平面上的超越亚纯函数也有一个部分分式分解定理 ， f(z)是以{ak}为极点集的超越亚纯函数，设f(z)在极点ak处罗朗展式的主部为，Pk(u)是一个多项式，于是f(z)可表作：中g(z)是整函数 ，hk(z)是适当选取的多项式。 对于超越亚纯函数有一个类似毕卡定理的结果 ：f(z)是超越亚纯函数，则最多除去两个例外值外 ，对所有其他值W， f(z)－W一定有无穷多个零点。