除以零

更新时间:2024-06-15 15:29

数学中,将某数除以零可表达为a/0,即a除以零;此式是否成立端视其在如何的数学设定计算。一般实数算术中,此式为无意义。在程序设计中,当遇上正整数除以零程序会中止,正如浮点数会出现NaN值的情况。

基本算术

简介

基本算术中,除法指将一个集合中的物件分成若干等份。例如,10个苹果平分给5人,每人可得10/5 = 2个苹果。同理,10个苹果只分给1人,则他/她可得10/1 = 10个苹果。

那0除以0的结果又是几呢

因为任何数乘0都得0, 所以是NaN。

这个问题本身是没有意义的,根本无人来,谈论每“人”可得多少根本多余。所以,10/0,在基本算术中,是无意义或未下定义的。

第二种解释是将除法理解为不断的减法。例如“13除以5”,换一种说法,13减去两个5,余下3,即被除数一直减去除数直至余数数值低于除数,算式为13/5 = 2……3。若某数除以零,就算不断减去零,余数也不可能小于除数,使得算式与无穷拉上关系,超出基本算术的范畴。

另外,根据除法的意义,除法是已知两个因数的积与其中一个因数,求另一个因数的运算。如果除数为0,则:

① 当被除数不为0(例如3÷0),由于“任何数乘0都等于0,而不可能等于不是0的数(例如3)”,此时除法算式的商不存在——即任何数的0倍都不可能为非零数;

② 当被除数为0,即除法算式0÷0,由于“任何数乘0都等于0”,于是商可以是任何数——即任何数的0倍都等于0。

为了避免以上两种情况,我们通常不定义除数为0的除法运算。

早期尝试

婆罗摩笈多(598–668年)的著作Brahmasphutasiddhanta被视为最早讨论零的数学和定义涉及零的算式的文本。但当中对除以零的论述并不正确,根据婆罗摩笈多,

Ganita Sara Samgraha试图纠正婆罗摩笈多的错误,但不成功:

婆什迦罗第二尝试解决此问题。令n/0=∞,虽然此定义有一定道理,但会导致悖论(参见下面)。

代数处理

若某数学系统遵从域的公理,则在该数学系统内除以零必须为没有意义。这是因为除法被定义为是乘法的逆向操作,即a/b值是方程bx = a中x的解(若有的话)。若设b = 0,方程式bx = a可写成 0x = a或直接 0 = a。因此,方程bx = a没有解(当a ≠ 0时),但x是任何数值也可解此方程(当a = 0时)。在各自情况下均没有的数值,所以1未能下定义。

除以零的谬误

在代数运算中不当使用除以零可得出无效证明:2 = 1

由:0×1=0,0×2=0,

得出0×1=0×2。

两边除以零,得出0×1/0=0×2/0。

化简,得:1=2

以上谬论一个假设,就是某数除以0是容许的并且0 / 0 = 1。

虚假的除法

矩阵代数或线性代数中,可定义一种虚假的除法,设a/b=ab+,当中b代表b的虚构倒数。这样,若b存在,则b = b;若b等于0,则0 = 0。参见广义逆。

数学分析

对于函数y=1/x,当x→0时,y→∞;反之亦然。

扩展的实数轴

表面看来,可以藉着考虑随着b趋向0的a/b极限而定义a/0。 对于任何正数a,

而对于任何负数a,

所以,对于正数a,a/0可被定义为+∞,而对于负数a则可定义为-∞。不过,某数也可以由负数一方(左面)趋向零,这様,对于正数a,a/0定义为-∞,负数a定义为+∞。由此可得(假设实数的基本性质可应用在极限上):

最终变成 +∞ = −∞,与在扩展的实数轴上对极限赋予的标准定义不相符。办法是用没有正负号的无限,参见下面。

另外,利用极限的比无为0/0提供解释:

0/0并不存在,而若随着x趋向0,f(x)与g(x)均趋向0,该极限可等于任何实数或无限,或者根本不存在,视乎f及g是何函数(参阅洛必达法则)。由此,0/0难以被定义为一极限。

无限接近法

2/0.1=20,2/0.01=200,2/0.001=2000,2/0.000001=2000000,…

愈接近0,所得的数愈大,所以除以0个数会变做无限大。

黎曼球

集合C∪{∞}为黎曼球(Riemann sphere),在复分析中相当重要。

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