更新时间：2024-05-21 11:37
设(X,M,μ)为测度空间，若f为X的可测函数，0＜p＜∞，定义
则可定义Lp空间Lp(X,M,μ)={f:X→:f为可测函数且}。
Lp(X,M,μ)可简写为Lp(μ)、Lp(X)或Lp。且Lp空间中的元为几乎处处相等的相应函数等价类。
设A为非空集，定义lp(A)为Lp(μ)，其中μ为(A,P(A))的计数测度。lp()可简记为lp。
闵可夫斯基不等式：当1≤p＜∞，且f,g∈Lp，。
Lp空间在工程学领域的有限元分析中有应用。
当空间维度是无穷而且不可数的时候（没有一个可数的基底），无法运用有限维或可数维度空间的办法来定义范数，但对于可积函数空间，仍然能够定义类似的概念。具体来说，给定可测空间(S,Σ,μ)以及大于等于1的实数p，考虑所有从S到域（或）上的可测函数。考虑所有绝对值的p次幂在S可积的函数，从不等式：|f+g|≤ 2(|f|+ |g|)可知，两个p次可积函数的和，也是一个p次可积函数。另外，容易证明；闵可夫斯基不等式的积分形式说明三角不等式对成立。满足这样条件的构成一个半范数，令成为一个半赋范向量空间。之所以是半范数，是因为满足的函数不一定是零函数。然而可以通过一套标准的拓扑方法从这个半赋范空间得到一个赋范空间。对可测函数来说，几乎处处为零（在测度μ意义下）。所以几乎处处为0，而同时也是的一个子空间。设是关于的商空间。中的某个元素可以看作是所有和函数相差一个中元素的函数构成的等价类。这样定义的空间是一个赋范向量空间，称为S上函数关于测度μ的Lp空间。称为函数的p-范数。
需要注意的是，Lp空间中的元素严格来说并不是具体的函数，而是一族函数构成的等价类。而当需要将Lp空间元素当作函数来计算的时候，参与计算的实际是从这一族函数中抽取的一个代表函数。
与序列空间一样，在函数空间上也可以定义一致范数。定义的方法和范数一样。
一致范数与p-范数之间存在发关系：可以证明，L空间是完备的空间，也即是说是一个巴拿赫空间（完备赋范向量空间）。Lp空间的完备性通常被称为里兹－费舍尔定理。具体的证明可以借助测度上的勒贝格积分的相关收敛定理来完成。
Lp空间都是巴拿赫空间，但只有当p= 2的时候，Lp空间是希尔伯特空间。也就是说，可以为L空间中的元素定义内积。表示复数的共轭。这个内积是从2-范数自然诱导的内积。Lp空间在傅立叶级数和量子力学以及其他领域有着重要的运用。空间可以看作是Lp空间的特例。只要取Lp空间中的，测度为上的计数测度，则对应的就是空间。