疲劳破坏时应力空间或应变空间破坏包络面的数学表达式。可供工程中疲劳计算分析时使用，但它不解决对疲劳破坏的物理和力学机理的认识。

S-N曲线

又称应力一寿命曲线，是疲劳过程中所施加的应力水平与至破坏的循环次数即寿命之间的关系曲线。S代表应力水平，可以是循环过程中的最大应力、应力幅等，N表示寿命，可以用线性寿命，也可以用对数寿命。S-N曲线由德国人Wohler最先提出并使用，所以又被称为Wohler曲线。通常所说的S-N曲线的N是具有50%的保证率的，即所谓的中值疲劳寿命。

有记载的最早的疲劳试验是德国人W. A.艾伯特在1829年进行的。他对矿山提升用的焊接链反复加载，在100000次循环后破坏。1839年，法国人J. V.彭赛列在他的著作中首次使用“疲劳”这个词。1843年，苏格兰人W. J. M.兰金讨论来机车车轴的破坏，认为是由于运行过程中金属性能逐渐变坏所致。他分析来车轴轴肩处尖角的有害影响，指出加大轴肩圆角的半径可以提高其疲劳强度。与此同时，英国成立了一个委员会，调查用铁作为建造铁路桥梁的材料的适用性，在对梁进行了若干次试验后指出，梁在静载荷下可以承受接近破坏的载荷达四年之久而不破坏，但如用静破坏载荷一半使梁反复弯曲，只要1000次循环梁就破坏。足以表明疲劳破坏时，远远低于梁的极限载荷。

第一次对疲劳强度进行系统试验的是德国人A.沃勒，他从1847年至1889年在斯特拉斯堡皇家铁路工作期间，完成来循环应力下的多种疲劳试验。1850年，他设计了旋转疲劳试验机，用来进行疲劳试验，认识到疲劳破坏可以在应力低于弹性极限时发生，并存在一个应力幅极限值，当应力幅小于该值时就不会发生疲劳破坏。并且他首次提出S-N曲线及疲劳极限的概念。此外，他还研究来热处理、应力集中和叠加静载荷对疲劳的影响，对疲劳来讲，应力幅要比平均应力更为重要。1884年J.包辛格在验证A.沃勒的疲劳试验时，发现“循环软化”现象，当时并未引起人们的重视，直到1952年柯杨在做铜棒的疲劳试验时才被重新提出来，并命名为“包辛格效应”。因此，J.包辛格是首先研究循环应力一应变关系的人。

1874年，W.格伯根据A.沃勒的试验数据，对平均应力不为零的疲劳破坏以“极限”来表达，在任意给定寿命下都可画出相应的疲劳极限线图，即格伯抛物线。1930年，英国人J.古德曼对疲劳极限线图提出简化假设，即用直线连接纵轴上的对称循环疲劳极限点和横轴上的强度极限点，以此来代替格伯抛物线。

1903年，J. A.尤因和J. C. W.汉弗对铁进行了旋转弯曲疲劳试验。在试验过程中，用光学显微镜观察式样发现，在循环应力作用下晶体中产生滑移线，随着循环数的增加，滑移线逐渐变深、变宽，形成滑移带，并在某个晶体上首先出现开裂，再在晶体之间连接起来形成一条长的连续的裂纹，最后导致破坏。

1923年，英国人H. J.高夫对疲劳理论提出来另一种假设。他认为在应力幅低于疲劳极限，将不产生塑性变形;如应力幅高于疲劳极限，应变硬化将达到一个极限值，从而形成裂纹。

1945年美国人M. A.迈因纳在J. V.帕姆格伦工作的基础上重新提出:损伤与应力循环数成线性关系，后人称为MINER准则。1974年美国学者J. W.费舍尔通过大量足尺寸焊接疲劳试验结果证明，影响疲劳的主要因素是应力幅，而不是最大应力和应力比。

常规疲劳强度设计中假设材料是无缺陷的连续体，疲劳破坏的过程分为裂纹形成、裂纹扩展和最后断裂三个阶段。但实际上材料中总是存在着裂纹的缺陷，因此，断裂损伤力学理论应用于疲劳强度设计是未来发展的趋势，在1920年，英国人A. A.格里菲斯研究来玻璃的实际强度要比它的分子结构所预期的理论强度低一千倍到一万倍的现象，他对带裂纹玻璃平板的断裂研究标志着现代断裂损伤理论的开始，可是一直没有可进行定量处理有关疲劳破坏模型的数学框架，直到1957年美国人P. C.帕里斯提出，在循环荷载作用下，裂纹尖端的应力强度因子幅值是控制构件疲劳裂纹扩展速率的基本参量，并于1963年提出来指数幂定律帕里斯公式。

1960年，低周应变疲劳性能的研究得到发展，L. F.克里夫和S. S.玛森各自独立提出来塑性应变幅和疲劳寿命之间的经验关系，进而形成局部应力应变法。1968年，非线性断裂损伤力学的研究有了新起点，R工CE提出来与路径无关的J积分，并且发表来著名的HRR弹塑性静止裂纹尖端奇异解，标志这弹塑性断裂力学理论开始走向成熟。基于断裂力学己发展来一种损伤容限方法，疲劳设计和寿命分析的断裂力学方法，或许成为以后的主导。1977年，美国的钢结构、铁路钢桥、公路桥梁三个设计规范同时改版，并且都是采用应力幅值作为疲劳验算的抗力。

近20年来，疲劳研究在我国得到跨越式发展，相对国外而言，我国疲劳研究起步较晚，从1950年初开始，80年代得到来发展，就研究内容来说，与国外相比研究的重点不同。寿命估算和随机疲劳成为我国研究的热点问题。

总之，疲劳理论经过无数研究者的不断完善，逐步形成了比较系统的研究理论，随着电子计算机的发展，运用软件分析和模拟疲劳裂纹的发展，将成为未来研究的主导，通过计算机的模拟计算，进行疲劳寿命的估算。从而为钢桥的疲劳评估，找到有效的方法。

传统分析方法

传统的疲劳分析方法主要以S-N曲线和Miner线性累积损伤准则为基础，通过计算来评估桥梁的疲劳寿命。传统疲劳分析方法在钢桥的应用主要是解决疲劳细节分类和确定荷载效应这两个问题上。

S-N曲线是材料作用应力S与破坏时的寿命N之间关系曲线。在对数坐标系下，S-N曲线在大部分的范围内为线性关系。通过分析载荷谱，按照一定的损伤累积法则来计算预测构件的疲劳寿命，S-N曲线以疲劳试验为基础，具有较好的可靠度，因此在桥梁上得到广泛的应用。在得出了钢桥结构的应力时间历程后，为了获得应力幅的变化情况，一般采用循环统计计数方法进行分析，可以得到不同的应力幅及相应的应力幅循环次数，通常使用的循环统计计数方法包括普通计数法、功率谱法、雨流计数法、泄水池法。一般工程使用的都是雨流计数法。

传统疲劳分析方法主用利用S-N曲线方法，分析形式简单，而且很多国家都针对自己的实际情况，制定了详细的疲劳荷载谱，操作比较方便，应用比较广泛，但如何获得复杂结构的S-N曲线和有关部位的应力历程是重点。

基于断裂力学的分析方法

传统的疲劳分析方法假定结构没有裂纹，分析的是从裂纹产生到扩展，直至结构破坏的全过程。断裂力学疲劳分析方法认为任何材料都存在缺陷，疲劳裂纹则来源于这些原始缺陷，而构件的破坏是在交变载荷的作用下疲劳裂纹扩展的结果。断裂力学分析方法承认初始缺陷的存在，更加符合实际情况，对于己经使用的钢桥累积损伤及疲劳寿命的评估具有重大意义。通过获得初始裂纹尺寸、临界裂纹尺寸、相应的应力强度因子表达式和材料的疲劳裂纹扩展速率表达式，就能对结构的剩余疲劳寿命进行估算。

工程上应用最广泛的疲劳裂纹扩展速率公式是Paris公式，两个裂纹扩展参数C和M为随机变量。在钢桥应用上，许多研究人员根据结构具体情况得到了相应的C和m值。应力强度因子和断裂判据是断裂力学最重要的问题。应力强度因子的计算主要有解析法和数值法，解析法主要包括应力函数法、积分变换法、奇异积分方程法、权函数法等;数值方法有J积分法、虚裂纹闭合法、位移相关法。由于有限元方法不受裂纹体几何及载荷形式的限制，对于结构或裂纹形状复杂和受复杂载荷作用的结构比较适用，对于在断裂理论中得到比较好的应用。基于断裂理论的研究方法，己经形成了适用的寿命评估方法，如损伤容限方法。即先用无损探伤技术确定初始的微裂纹，在没有发现微裂纹的情况下，则利用探伤技术中的拟定微裂纹的初始尺寸，最后通过断裂力学研究微裂纹的扩展规律，并预测结构的剩余寿命，并确定下一次检测的时间间隔。当达到检测时间间隔时应重新进行相应的检测，根据新的检测结果重新计算剩余寿命和检测间隔，以此循环下去，直至钢桥达到必要的加固状态。

运用断裂力学来分析钢桥疲劳问题是发展较快的领域，虽然大部分国家仍然沿用传统疲劳分析方法，但越来越多的研究人员致力于运用断裂力学方法来分析钢桥的疲劳破坏，在桥梁中确定了临时构造细节，经无损检测得到初始裂纹的长度，通过对Paris公式进行积分，得到该构造细节的疲劳寿命。

基于断裂力学的疲劳分析方法在实际工程问题中，一般构件的受力情况是复杂的，裂纹的位置和扩展的方向受到各种因素的影响，裂纹尖端实际多处于复合型受力状态，为解决复合型裂纹起裂条件和扩展方向，需要建立准确的断裂依据。但是由于复杂结构应力强度因子的计算是其难点，而且工程上应用较广泛的Paris公式只考虑了裂纹扩展阶段，应用断裂力学获得裂纹的全寿命计算模型是其难点。

损伤力学的分析方法

损伤力学疲劳分析方法是研究含损伤材料在变形过程中损伤的不断演化直至发展到破坏的应力应变过程的方法。损伤力学理论认为结构在初始状态时就存在损伤，构件承受荷载过程中，这些损伤是不断的演化发展的，而且具有不可逆性，当损伤达到一定阀值时，结构就发生了破坏。损伤力学发展20多年的历史，但己经发展演化出了两个平行的分支，连续损伤力学和细观损伤力学。损伤力学的发展为疲劳分析提供了新的概念和分析方法，传统的疲劳分析方法中未引入损伤的概念，然而在疲劳过程中，应力、应变、刚度是不断变化的，因此无法获得整个疲劳过程中力学行为的描述，同时从疲劳裂纹形成到裂纹扩展是一个连续的变化过程，而传统疲劳分析方法却把其分为两个独立的时期来研究，应用不相同的计算方法和分析方法。但是在应用损伤理论之后，科研人员利用连续损伤场的概念，解释了金属材料中的位错与微裂纹等内部缺陷，对金属本构关系的重要影响，从热力学原理中的不可逆理论中，建立了损伤动力学与损伤力学本构关系的模型。损伤力学可以有效地降低疲劳分析对实验的依赖程度，也可将疲劳裂纹形成与裂纹扩展两个阶段统一在损伤力学理论框架下进行分析和描述，可对整个疲劳过程中的力学行为进行数值模拟计算。

损伤力学分析方法中，通常用损伤因子D作为特征参量去描述结构的损伤速率dD/dN，从能量和微观的角度分析疲劳的产生和扩展的过程。但是损伤力学出现的时间不长，工程界对疲劳损伤因子的定义还没有统一的认识，损伤演化模型也不完善，没有工程实例作为支撑，同时由于其分析方法的独特，可以肯定未来应用前景广大。

为便于分析研究，常按破坏循环次数的高低将疲劳分为两类：

①高循环疲劳（ HCF，高周疲劳）。作用于零件、构件的应力水平较低 ，破坏循环次数一般高于10^4的疲劳 ，弹簧、传动轴等的疲劳属此类。

②低循环疲劳（LCF，低周疲劳）。作用于零件、构件的应力水平较高 ，破坏循环次数一般低于10^3～10^4的疲劳，如压力容器、燃气轮机零件等的疲劳。实践表明，疲劳寿命分散性较大，因此必须进行统计分析，考虑存活率（即可靠度）的问题 。具有存活率p（如95%、99%、99.9%）的疲劳寿命Np的含义是 ：母体（总体）中有p的个体的疲劳寿命大于Np。而破坏概率等于（ 1－ p ） 。常规疲劳试验得到的S-N曲线是p=50%的曲线 。对应于各存活率的p的S-N曲线称为p-S-N曲线。

高周疲劳是材料所受的最大交变应力远低于材料的极限强度，甚至只有极限强度的二分之一左右，破坏前的循环次数大于103次，通常用S-N曲线描述材料高周疲劳特性。低周疲劳是指材料所受的应力水平较高，通常接近材料的极限强度，断裂前循环次数较少，一般少于103，每次循环中塑性变形较大，低周破坏是塑性变形累积的结果，因此又把低周疲劳称为塑性疲劳。地震波荷载常用低周疲劳过程来模拟。由于低周疲劳寿命N对于应力水平S的变化过于敏感，用S-N曲线已不足以描述起疲劳性能，常用￡-N描述其疲劳性能。当疲劳应力水平很小时，

疲劳寿命会很大，我们把这种情况称为亚临界疲劳。把疲劳分为低周疲劳、高周疲劳和亚临界疲劳是有明确的现实意义的，对于低周疲劳，由于模拟的是地震波荷载，并且实验验证比较容易，受到人们的普遍重视，并已取得相当成效;对于亚临界疲劳，由于人力、物力、财力资源的限制，很难用实验手段对其性能进行研究，研究只限于理论研究阶段，或者把已进行的高周疲劳实验结果适当外延，用于亚临界疲劳;高周疲劳介于二者之间，对应较多实际工程中构件的受力状态，正逐步引起人们的注意，并已取得一定成效。