更新时间：2024-05-21 16:37
切赫上同调是切赫链复形对应的上同调。
U上的0上链为，1上链为，以此类推可把所有维的上链构造出来。
由包含映射序列，可生成群同态序列
定义δp:为
则为切赫链复形。
的上同调为切赫上同调。
设为的开加细，由限制映射得，这与j的选取无关。由归纳极限可得M上的切赫上同调为
若K为阿贝尔群，则可定义H2(X;K)，并可延长上面的长正合列。
当G为阿贝尔群时，H1(X;G)为第一切赫上同调群。
对X上以阿贝尔李群G为结构群的向量丛的同构类，有自然同构。
设G=，Cov2(X)为X的二重覆叠空间的等价类的集合，则存在自然同构。
对正合列，有第一斯蒂弗尔-惠特尼类，则w1(P)=0当且仅当P为主SOn丛，即P为可定向向量丛。
对正合列，有第二斯蒂弗尔-惠特尼类，则w2(P)=0当且仅当P为主Spinn丛，即P为附有自旋结构的向量丛。
若P的表示为，且Uα∩Uβ为单连通，则可提升为，于Uα∩Uβ∩Uγ定义。由于ξ0(wαβγ)=1，故有，则上链表示w2(P)。
设M的切丛TM具黎曼度量，{Ui}为单开覆盖，{eiα}(1≤α≤m)为TM的局部正交归一标架，则eiα=tijejα，其中tij:Ui∩Uj→O(m)为转移函数。
可以定义切赫1上闭链f(i,j)=det(tij)=±1。