更新时间：2022-08-25 16:18
单叶函数论亦称几何函数论，是单复变函数论的一个重要分支。单叶函数指定义在平面区域上且函数值与自变量一一对应的亚纯函数。
黎曼（Riemann.（G.F.）B.）在1851年的学位论文中指出的映射定理，即“边界点不只一个的单连通区域共形等价于单位圆盘”，成为单叶函数理论的奠基石。
20世纪初，在对单位圆盘内满足规范条件f(0)=f'(0)-1=0的单叶解析函数类（S类）以及单位圆外以∞为单极点且留数为1的单叶函数类（∑类）的研究中，格朗沃尔面积定理、克贝1/4定理、克贝偏差定理等显示单叶函数研究的序幕。
1916年，比伯巴赫（Bieberbach,L.）提出一个著名猜测：S类函数的幂级数展开式系数满足|an|≤n,n=2,3,...，且仅对于克贝函数及其旋转等号成立，它是那样简单而精美，它始终是单叶函数研究的中心课题之一，也是最著名的数学难题之一，在半个多世纪中它吸引着众多数学家的努力，产生了研究单叶函数的许多方法和相关论题。
例如，1923年，勒夫纳（Loewner,C.）引入参数表示法；
1940年前后，席费尔（Schiffer,M.M.）与戈卢津创立的变分法；
1939年，格隆斯基（Grunsky,H.）给出以其名字命名的重要不等式；
1936年，罗伯森（Robertson,M.S.）提出下面的猜测：对于S类中的单叶奇函数，有
由S类函数的平方根变换，罗伯森猜想蕴涵比伯巴赫猜想；
1971年，米林猜测：若f∈S且，则基于列别杰夫-米林的一个不等式，米林猜想蕴涵罗伯森猜想，从而也蕴涵比伯巴赫猜想。
1984年，美国数学家布朗基（Branges,L.de）基于勒夫纳的参数表示法并利用雅可比多项式的一个结果证明了米林猜想，从而使比伯巴赫猜想得以证实。
单叶函数的种种泛函极值问题也是单叶函数研究的重要内容，并取得了一系列进展。
例如，1974年，伯恩施坦（Bernstein IA.R.）利用他所创立的一种对称化方法证明了：对于f∈S，0 近年来在用极端点和支撑点理论研究单叶函数的线性泛函以及对多连通区域单叶函数的研究方面也已取得显著的成果。关于单叶函数边界性质的研究重新引起了一些数学家的重视。 在20世纪初，卡拉西奥多里（Carathodory，C.）曾对单叶函数的边界对应做过精美的刻画。最近，马柯罗夫和波默伦克（Pommerenke,C.M.W.）等人的研究则将单叶函数的边界性质同像域边界子集的豪斯多夫测度联系起来。