更新时间：2022-09-23 09:51
豪斯多夫测度(Hausdorff measure)是由豪斯多夫(F.Hausdorff)提出和命名的一种测度。为了定量地描述非整数维，豪斯多夫于1919年从测量的角度引进了豪斯多夫测度。该测度是对长度、面积和体积等的推广，也是勒贝格测度的推广。
设在n维欧氏空间中对子集定义其直径为
如果子集族为可数个直径不超过的集构成的覆盖F的集类，即
且对每一个都有，则称是F的一个覆盖。设F是中的任一子集，S为一非负数，对任意，定义
{为的覆盖} (1)
考察所有直径不超过的的覆盖，并让这些直径的S次幂的和达到最小。当时，趋于一极限值，可写为
称为的维豪斯多夫测度。通常测度只是赋予集以数值“大小”的一种方式，如果集是以合理的方式分解为有限或可数个部分，则整体的数值应该是所有部分数值之和。可以证明，对于空集∅，有。如果包含于内，则。豪斯多夫测度具有平移不变性与旋转不变性。长度、面积和体积具有众所周知的比例性质，即当比例放大λ倍时，曲线的长度放大λ倍，平面区域的面积则放大倍，而三维物体的体积则放大倍。由此可预料，S维豪斯多夫测度的放大倍数为。其数学表达式为：若，则
豪斯多夫测度(Hausdorff measure)是几何测度论中一类有重要意义的测度。在欧氏空间情形，对任意和给定的，令
这里使得
且每个的直径(ε是任意给定正数)，下确界对所有这样的而取。定义
(是随ε减小而增大的，故此定义有意义)，则是度量外测度，称为豪斯多夫外测度。由这个外测度所确定的(惟一的)测度即为豪斯多夫测度，仍用表示。豪斯多夫测度是正则波莱尔测度，当时，就是直线上的勒贝格测度；时，与上的勒贝格测度等价，但不完全相同。豪斯多夫测度的意义在于，对的任一子集A，存在数，使时时，因而刻画了中集合的“维数”(参见“豪斯多夫维数”)。但一般不是整数，例如对于直线上的康托尔集，。这个测度由豪斯多夫(F.Hausdorff)于1918年引进，在调和分析、位势论等学科中有应用。豪斯多夫测度还可在一般的度量空间上和更广的意义(将上述定义中的()换成某个集函数之值)下定义。