更新时间：2022-08-25 13:06
抽象代数学研究的对象，是20世纪20年代在 初等数学基础上发展起来的一门学科，它在数学各领域均有应用，近年来并大量用于计算机领域。
双代数（bialgebra）是指一种代数系统。它既有代数结构，又有余代数结构，且两种结构具相容性。设(B，μ，η)是R代数，且(B，Δ，ε)是R上的余代数，其中μ是B的乘法映射，η是刻画B的单位元的映射。若Δ和ε都是R代数同态(等价于μ，η都是R余代数同态)，则(B，μ，η，Δ，ε)称为R上的双代数。
抽象代数学研究的对象，是20世纪20年代在 初等数学基础上发展起来的一门学科，它在数学各领域均有应用，近年来并大量用于计算机领域。
抽象代数学是研究由非特定的任意元素组成的 集合及定义在元素之间满足若干条件或公理的代数 运算所组成的系统的数学分支。设S为一非空集合， S上的n维笛卡儿积S到S的映射f：S→S称为S上的n元运算。最常见的是一元 运算S： S→S和二元运算f：S→S。如在实数集上 求相反数是一元运算，实数的加法和乘法是二元运 算。非空集合S和S上的k个运算f1，f2，…，fk组 成的系统，称作代数系统，记做〈S，f1，f2，…，fk〉。 代数系统也称作代数结构。代数系统包括半群、群、 环、域和格等。下面用Z、Q、R和C分别表示整 数集合、有理数集合、实数集合和复数集合。
二元运算的性质
在代数系统中常将一元运算f(a)记为*a，二元 运算f(a，b)记为a*b。设·与*为非空集合S上的二 元运算。①幂等律： 若∀a∈S，a*a=a， 则称*满足幂 等律。 ②交换律： 若∀a， b∈S， a*b=b*a， 则称*满 足交换律。 ③结合律： 若∀a， b， c∈S， a*(b*c)=(a*b)*c，则称*满足结合律。④分配律： 若∀a， b， c∈S， a·(b*c)=(a·b)*(a·c)且(b*c)·a=(b·a)* (c·a)，称·对*满足分配律。⑤吸收律： 若·与*满足 交换律且∀a， b∈S， a*(a·b)=a， a·(a*b)=a， 则称· 与*满足吸收律。例如，集合的并、交运算满足幂等 律、交换律、结合律，并对交和交对并满足分配律， 并与交满足吸收律; 实数集合上的加法、乘法都满 足交换律和结合律，但不满足幂等律。乘法对加法 满足分配律，但加法对乘法不满足分配律，加法与 乘法不满足吸收律; 矩阵乘法满足结合律，但不满 足交换律。
二元运算的特异常数
设*为集合S上的二元运算。①单位元：设e∈S， 若∀a∈S， e*a=a*e=a，则称e为S关于运算*的单位 元。 ②零元： 设θ∈S， 若∀a∈S， θ*a=a*θ=θ， 则 称θ为S关于运算*的零元。③逆元：设*为S上的二 元运算，e为单位元，a∈S，若存在b∈S使得 b*a=a*b=e，则称b为a关于运算*的逆元，常记作 a。此时又称a是可逆的。例如，在实数集合上， 0是关于加法的单位元，而1是关于乘法的单位元。 0是关于乘法的零元。对任意的z，z关于加法的逆 元为-z： 当z≠0时，z关于乘法的逆元为1/z。
群论： 一种重要的代数系统
半群： 若G上的二元运算*满足结合律，则称 代数系统〈G，*〉为半群。
独异点： 有单位元的半群。
群： 每个元素都可逆的独异点，即群是满足下 述3个条件的代数系统〈G，*〉： ①二元运算*满 足结合律， ∀a， b， c∈G， a*(b*c)=(a*b)*c; ②G有 单位元e，∀a∈G， a*e=a*e=a;③G的每一个元素a 有逆元a，a*a=a*a=e。群〈G，*〉可简记为G。 例如，任一集合S的幂集P(S)关于并(交)运算构成 独异点， 其中空集∅(集合S)是单位元; 设∑是一非 空集合，∑*是∑中有限长字符串的全体， “”表示 两个字符串的连接，如abaobba=ababba，则〈Σ*，〉是一个独异点， 其中空串是单位元;整数集合关 于加法构成一个群，称作整数加法群，类似地还有 有理数加法群、实数加法群;设n是正整数，记 Zn={0，1，…，n-1}，Z={1，2，…，n-1}，定 义模n加法⨁和模n乘法⨂如下：∀x，y∈Zn， x⨁y= (x+y)mod n，x⨂y=xy mod n，则〈Zn，⨁〉是群， 称 作模n加法群; 〈Z，⨂〉是独异点;当n为素数时， 〈Z， ⨂〉是群， 称作模n乘法群。
子群： 设〈G， *〉， HG是一非空集合， 若〈H， *〉构成一个群，则称H是G的子群。例如，有理数 加法群是实数加法群的子群，整数加法群是有理数 加法群的子群、也是实数加法群的子群。
有限群与无限群： 只有有限个元素的群称为有 限群，否则称为无限群。有n个元素的有限群称作 n阶群。例如，模n加法群是n阶有限群，整数加 法群是无限群。n阶群的子群的阶必是n的因子。
交换群： 运算是可交换的群，又称阿贝尔群。 例如，整数加法群是交换群; 全体n阶可逆矩阵关 于矩阵乘法构成群，它不是交换群。在群中，a*b 常简记作ab，n个a的运算a*a*…*a记作a，称作 a的n次幂，规定a=e。
在群中，①满足消去律，即若ab=ac(或ba=ca)， 则b=c; ②方程ax=b和xa=b均有唯一解，它们的 解分别为x=ab和x=ba。
循环群： 一类最简单且应用广泛的群。若群G 的每一个元素都可以表示成某个元素a的幂，则称 G是循环群，a是G的生成元，记做G=〈a〉。n阶 循环群可表示成{e，a，a，…，a}，无限循环群 可表示成{e，a，+，a，…}。例如，整数加法群 是无限循环群，有两个生成元1和-1;模n加法群 是循环群，1是一个生成元，还可能有其他的生成 元。如模10加法群有4个生成元1，3，7和9。循 环群都是交换群，循环群的子群都是循环群。
环和域
在非空集合S上定义两个二元运算+和·(分别 称为“加法”和“乘法”)。若代数系统〈S，+〉是 交换群，〈Z，·〉是半群，且·对+满足分配律，即① 加法+满足结合律和交换律，有单位元0，每一个 元素都有逆元; ②乘法·满足结合律; ③·对+满足 分配律， ∀a， b∈S， a·(b+c)=(a·b)+(a·c)， (b+c)·a= (b·a)+(c·a)，则称代数系统〈S，+，·〉为一个环。在 环中，加法的单位元0常称为零元，a的加法逆元 称作负元，记作-a。乘法可交换的环称作交换环。
设〈S，+，·〉是一个环。如果乘法·有单位元、 是可交换的， 且∀a， b∈S， a≠0且b≠0蕴涵ab≠0， 则称〈S，+，·〉是整环。如果〈S*，·〉也构成群，其 中S*=S-{0}，则称〈S，+，·〉是除环。乘法·是可 交换的除环称作域。
例如，有理数集、实数集和复数集关于加法和 乘法都构成域，分别称为有理数域、实数域、复数域。整数集关于加法和乘法构成整环。对任意的整 数n≥2， 〈Zn， ⨁， ⨂〉是环；当n是素数时， 〈Zn，⨁， ⨁〉是域。
余代数是代数的对偶概念。设C是R模，Δ是一个R线性映射C→CRC，被称为余乘法或对角映射；ε是一个R线性映射C→R，称为余单位元或增广。R上的余代数是指满足以下二交换图的三元组(C，Δ，ε)：
群双代数
双代数的示例是从群G到的函数集合，可以表示为向量空间由标准基向量的线性组合而成，例如对于每个g∈G，其可以表示在系数全部的向量的情况下在G上的概率分布非负数，并且总和为1。产生双代数的合适的运算的一个例子是：
其代表了产生随机变量的过程（我们通过线性扩展到所有，以及：
（再次线性地延伸到所有），它表示“跟踪”一个随机变量 - 即忘记随机变量的值由单一张量因子表示）以获得剩余变量（剩余张量因子）的边际分布。给出如上所述对（Δ，ε）的概率分布的解释，双代数一致性条件等于（∇，η）的约束如下：
η是准备与所有其他随机变量无关的归一化概率分布的运算符;
产品∇将两个变量上的概率分布映射到一个变量上的概率分布;
复制由η给出的分布中的随机变量相当于在分布η中有两个独立的随机变量;
以两个随机变量的乘积和准备所得到的随机变量的副本具有与每个随机变量相互独立的准备副本并将它们成对地相乘的分布。
满足这些约束的一对（∇，η）是卷积运算符
再延伸到所有，这从两个随机变量上的分布产生一个归一化的概率分布，并以delta分布作为一个单位，其中i∈G表示群G中的单位元素。
其他例子
双代数的其他例子包括张量代数，它可以通过添加适当的联合和协同来形成一个双代数。
如果可以找到适当的对映体，则可以将双代数扩展到Hopf代数。因此，所有Hopf代数都是双代数的例子。