更新时间：2022-08-25 15:03
拓扑空间X是吉洪诺夫空间或T3½空间或Tπ空间或完全T3空间，当且仅当它是完全正则空间和T1空间二者。
假定X是拓扑空间。X是完全正则空间，当且仅当给定任何闭集F和任何不属于F的点x，存在从X到实直线R的连续函数f使得f(x)为0和f(y)为1对于所有F中的y。用“空想家”术语来说，这个条件声称x和F可以由函数分离。
注意某些数学文献对术语“完全正则”和涉及“T”的术语使用了不同的定义。我们这里给出的定义是今天最常用；但是某些作者切换了两类术语的意义，或者把它们用做同一个条件的同义词。在这里，我们直率的使用术语“完全正则”和“吉洪诺夫”，但避免不太明晰的术语“T”。在其他文献中，你应该仔细找出作者使用的是什么术语。
完全正则空间和吉洪诺夫空间通过柯尔莫果洛夫商关联起来的。拓扑空间是吉洪诺夫空间，当且仅当它是完全正则空间和T0空间二者。在另一方面，一个空间是完全正则空间，当且仅当它的柯尔莫果洛夫商是吉洪诺夫空间。
完全正则性和吉洪诺夫性质关于始拓扑是表现良好的。特别是，选取任意始拓扑保持完全正则性，选取点分离始拓扑保持吉洪诺夫性质。可得出:
类似所有分离公理，选取终拓扑不保持完全正则性。特别是，完全正则空间的商空间不必须是正则空间。吉洪诺夫空间的商空间甚至不必须是豪斯多夫空间。有Moore平面的闭合商作为反例。
对于任何拓扑空间X，设C(X)指示在X上的实数值连续函数族，并设C*(X)是有界实数值函数的子集。
完全正则空间可以特征化为它们的拓扑完全确定自C(X)或C*(X)的性质。特别是:
给定任意拓扑空间(X,τ)有一种普遍方式对(X,τ)关联上一个完全正则空间。设ρ是在引发自Cτ(X)的X上的始拓扑，或等价的说，从(X,τ)中的余零集合的基生成的拓扑。则ρ将是比τ粗的X上的最细完全正则拓扑。这种构造是普遍性的，在任何到完全正则空间Y的连续函数
都将在(X,ρ)上连续的意义上。用范畴论的语言，从(X,τ)到(X,ρ)的函子左伴随于包含函子CReg→Top。因此完全正则空间的范畴CReg是拓扑空间范畴Top的反射子范畴。通过选取柯尔莫果洛夫商，可以看出吉洪诺夫空间的子范畴也是反射的。
可以证明在上述构造中Cτ(X)=Cρ(X)，所以环C(X)和C*(X)典型的只在完全正则空间X中研究。
吉洪诺夫空间完全就是那些可以嵌入到紧致豪斯多夫空间内的空间。更精确地说，对于所有吉洪诺夫空间X，存在紧致豪斯多夫空间K使得X同胚于K的一个子空间。
事实上，你总是可以选择K为立方体(就是说，单位区间的可能无限乘积)。所有立方体都是紧致豪斯多夫空间是吉洪诺夫定理的一个结论。因为所有紧致豪斯多夫空间的子空间都是吉洪诺夫空间，所以:
特别有趣的嵌入是X的像是K中的稠密集；这叫做X的豪斯多夫紧致化。给定任何吉洪诺夫空间X到紧致豪斯多夫空间K的嵌入，X在K中的像的闭包是X的紧致化。
在豪斯多夫紧致化中，有一个唯一“最一般”的，斯通–切赫紧致化βX。它由如下泛性质刻画，给定从X到任何其他紧致豪斯多夫空间Y的连续映射f，有一个唯一的从βX到Y连续映射g扩张f，在f是g和j的复合意义上。
完全正则性正好是在拓扑空间上存在一致结构的必需条件。换句话说，所有一致空间都有完全正则拓扑，而所有完全正则空间X是可一致化空间。拓扑空间允许分离的一致结构当且仅当它是吉洪诺夫空间。
给定完全正则空间X通常存在多于一个X上的一致结构相容于X的拓扑。但是，总是有最细一致结构，叫做X的精细一致结构。如果X是吉洪诺夫空间，则可以选择一致结构使得βX成为一致空间X的完全。
在数学分析中研究的几乎所有拓扑空间都是吉洪诺夫空间，或至少是完全正则空间。例如，实直线是在标准欧几里德拓扑下的吉洪诺夫空间。其他例子包括：