圆内接四边形 - 知识百科

圆内接四边形

更新时间：2024-07-22 20:19

圆内接四边形（Cyclic quadrilateral）是一个几何概念，是指四个顶点均在同一圆上的四边形。圆内接四边形拥有很多几何性质，可用于数学几何问题求解。

性质定理

以图1所示圆内接四边形ABCD为例，圆心为O，延长AB至E，AC、BD交于P，则：

1.圆内接四边形的对角互补：∠BAD+∠DCB=180°，∠ABC+∠ADC=180°

2.圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角：∠CBE=∠ADC

3.圆心角的度数等于所对弧的圆周角的度数的两倍：∠AOB=2∠ACB=2∠ADB

4.同弧所对的圆周角相等：∠ABD=∠ACD

5.圆内接四边形对应三角形相似：△ABP∽△DCP（三个内角对应相等）

6.相交弦定理：AP×CP=BP×DP

7.托勒密定理：AB×CD+AD×CB=AC×BD

判定定理

1、如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形内接于一个圆；

2、如果一个四边形的外角等于它的内对角，那么这个四边形内接于一个圆；

3、如果一个四边形的四个顶点与某定点等距离，那么这个四边形内接于以该点为圆心的一个圆；

4、若有两个同底的三角形，另一顶点都在底的同旁，且顶角相等，那么这两个三角形有公共的外接圆；

5、如果一个四边形的张角相等，那么这个四边形内接于一个圆；

面积计算

S圆内接四边形，p=（a+b+c+d）/2，此公式称之为婆罗摩笈多公式。与海伦公式对比可以看出，这和海伦公式三角形面积具有惊人的相似性，其实海伦公式就是婆罗摩笈多公式d=0的特殊形式。