更新时间：2023-01-06 08:56
更抽象地说，平均曲率是第二基本形式（或等价地，形算子）的迹 。
另外，平均曲率 H 可以用共变导数 写成
这里利用了高斯-Weingarten 关系，X(x,t) 是一族光滑嵌入超曲面， 为单位法向量，而gij 是度量张量。
一个曲面是极小曲面当且仅当平均曲率为零。此外，平面 S 平均曲率满足一个热型方程称为平均曲率流方程。
对 3 维空间中的曲面，平均曲率与曲面的单位法向量相关：
这里法向量的选取影响曲率的正负号。曲率的符号取决于法向量的方向：如果曲面“远离”法向量则曲率是正的。上面的公式对 3 维空间中任何方式定义的曲面都成立，只要能够计算单位法向量的散度。
对曲面是两个坐标的函数定义的曲面，比如 z = S(x,y)，使用向下的法向量平均曲率（的两倍）表示为
在流体力学中使用的另外一种定义是不要因子 2：
Hf=(k1+k2)
这出现于杨-拉普拉斯方程中，平衡球状小滴内部的压力等于表面张力乘以 Hf；两个曲率等于小滴半径的倒数 κ1 = κ2 = r ^-1。
一个极小曲面是所有点的平均曲率为零的曲面。经典例子有悬链面、螺旋面、Scherk 曲面与 Enneper 曲面。新近发现的包括 Costa 极小曲面（Costa's mimimal surface，1982年）与Gyroid（Gyroid，1970年）。 极小曲面的一个推广是考虑平均曲率为非零常数的曲面，球面和圆柱面就是这样的例子。Heinz Hopf 的一个问题为是否存在曲率为非零常数的非球面闭曲面。球面是惟一具有常平均曲率且没有边界或奇点的曲面；如果允许自交，则存在平均曲率为非零常数的闭曲面，Wente 在1986年曾构造出这样的自交环面(陈维桓 2006, 4.6节)。
平均曲率流
逆平均曲率流
面积公式第一变分
Dubreil-Jacotin on Sophie Germain
Curvature in the Calculus Curriculum
关于角度的平均值。