任意仿射簇V的扎里斯基拓扑是𝔸n的扎里斯基拓扑诱导的V的子空间拓扑。

由于任意仿射簇在欧几里得拓扑下都是闭的，因此扎里斯基闭集在欧几里得拓扑下也是闭的，反之不成立。扎里斯基拓扑比欧几里得拓扑更粗糙。任意扎里斯基开集在扎里斯基拓扑与欧几里得拓扑下都是稠密的。不同于欧几里得拓扑，扎里斯基拓扑能对应复数域以外的域。

设S是一个概型，φ是概型X到S的态射，则称X是一个S-概型，如果S=SpecR，则称X是一个R-概型。设f是概型X到Y的态射，如果△X/Y： X→XxYX，x→(x，x)是闭的浸入，则称X在Y上可分，若Y=SpecR，则称X是可分的。态射f：X→Y称为有限型的，如果存在Y的仿射开覆盖{Yλ|λ∈∧} 使得每个Xλ=f(Yλ) 可以被有限个仿射开子集覆盖，而Xλj=SpecBλj，Yλ=SpecAλ每个Bλj是有限生成的Aλ代数。若X→SpecR是有限型的，则称X是R-代数的。设k是一个代数闭域，V是一个整的，可分的在k上代数的k-概型，则我们称V是k上的一个代数簇。设(X，φ)，(Y，φ)是S-概型，f： X→Y是态射，如果→f=φ，则称f是S-态射。设X，Y是R-概型，令E={ (U，φ)|U是X的稠密开子集，φ：U→Y是R-态射}，在E上引入等价关系 (U，φ)～ (V，φ) 当且仅当对于U∩V的某个稠密开子集W，|w=Φ|W。E/～的元素称为有理映射，若Y=SpecR[X]，则称为有理函数，X上所有有理函数的集合记作RatR(X)。若V是域k上的代数簇，则RatR(V)称为V的函数域。设f是X到Y的有理映射，如果存在(U，φ)∈f，使得φ(U)是Y的稠密子集，则称f是控制的。设V，W是代数簇，f：V→W是控制的有理映射，如果存在有理映射g：W→V使得g◦f是恒等映射，则称f是双有理映射。V到V的所有双有理映射作成一个群，称为V的双有理同构群。如果有V到W的双有理映射，则称V与W双有理等价。一维的代数簇称为曲线，二维的代数簇称为曲面。曲面S上的曲线C是曲面S的一维闭子簇。

所谓概形，是指代数几何的基本研究对象。它实际上就是一个局部同构于仿射概形的局部环空间。更精确地，概形(X，OX)是一个环空间，其拓扑空间X有一个开覆盖{Xi}i∈I，使得(Xi，OX|Xi)同构于仿射概形Spec Γ(Xi，OX)(这样的覆盖称为仿射开覆盖)。概形间的态射就是局部环空间的态射。概形的范畴是局部环空间范畴的子范畴。若概形X有一个仿射开覆盖{Xi}，使得每个仿射概形都是诺特概形、既约概形、正规概形或正则概形，则相应地称概形X是局部诺特的、既约的、正规的或正则的。这些性质都是概形的局部性质，就是说，只要存在一个仿射开覆盖具有上述某种性质，这个概形就具有此性质，而且任意一个仿射开子概形都有此性质。若概形X的拓扑空间是连通空间或不可约空间(即它不能表成两个不同真闭子集的并)，则称此概形为连通的或不可约的。

在研究概形的性质或有关的概念时，往往要考虑具有相同基础的概形。带有态射f：X→S的概形X称为S概形。若S=Spec A是仿射概形，则S概形简称A概形。显然任何概形都是Z概形。给出基变换态射S′→S后，可以得到一个S′概形XS′=X×SS′，称为S概形X的基扩张。与S概形相关的概念称为相对概念，以区别于与概形相关的绝对概念。S概形与态射f：X→S密切相关。不同性质的态射就给出了不同的S概形。例如，设f：X→S是一个态射，若对角浸入X→X×SX是闭态射，则称f是分离态射；若存在S的一个仿射开覆盖{Ui}={Spec Bi}，使得每个f(Ui)都有一个有限仿射开覆盖{Vij}={Spec Aij}，并且Aij都是有限生成Bi代数，则称f是有限型的；若f(Ui)=Spec Ai，Ai都是有限生成Bi模，则称f是有限态射。有限态射是仿射态射。代数几何中研究的S概形一般都是分离、有限型的。

扎里斯基是美国数学家。生于俄国库勃林，卒于美国坎布里奇。1918—1920年，就读于基辅大学。1921年，到意大利比萨大学学习，半年后转到罗马大学，1924年获博士学位。1924—1927年，留校做博士后研究。1927年，到美国约翰斯·霍普金斯大学任教，至1945年.1936年入美国籍。1946—1947年，任伊利诺伊大学研究教授。1947年起，任哈佛大学教授，1969年退休。943年，被选为美国全国科学院院士；1948年，被选为美国艺术与科学学院院士；1960—1961年，任美国数学会副主席，1969—1970年任主席。

扎里斯基的贡献主要在代数几何领域，特别是参与了重建代数几何基础的工作。早期研究代数、数论等，1927—1935年，转而研究代数簇拓扑，特别是基本群。当时人们认为所有具固定个结点的固定度平面曲线属于一个代数簇，但他发现了具有固定度和固定个奇点的曲线可能属于若干个簇，并给出了例子。1939年，他给出了代数曲面奇点解消的纯代数证明。1944年，他第一次证明了三维代数簇奇点的解消。他还引入了正规簇和簇的正规化概念，现已成为代数簇理论的基础。1940年，他首次证明了任意维(特征p=0)代数簇局部单值化的存在性，并导致他引入了在簇V上的拓扑，现称为扎里斯基拓扑。他在1935年出版的专著《代数曲面》是他重建代数几何的开始。他逐步把抽象代数思想引入了代数几何，最终与范·德·瓦尔登(Van der Waerden，B.L.)和韦伊(Weil，A.)一起重建了代数几何的基础。他到哈佛大学以后，使该校成了世界代数几何的中心。1944年曾获美国数学会科尔奖，1965年获美国国家科学奖章，1981年获美国数学会斯蒂尔奖，并于1982年获沃尔夫数学奖。他还著有《代数曲面理论引论》(1969)和其他一些专著。1972—1979年，出版了他的四卷本文集。

拓扑是集合上的一种结构。设T为非空集X的子集族。若T满足以下条件：

1.X与空集都属于T;

2.T中任意两个成员的交属于T;

3.T中任意多个成员的并属于T;

则T称为X上的一个拓扑。具有拓扑T的集合X称为拓扑空间，记为(X，T)。

设T1与T2为集合X上的两个拓扑。若有关系T1T2，则称T1粗于T2，或T2细于T1。当X上的两个拓扑相互之间没有包含关系时，则称它们是不可比较的。在集合X上，离散拓扑是最细的拓扑，平凡拓扑是最粗的拓扑。

设X是一个非空集合，X的幂集的子集（即是X的某些子集组成的集族）T称为X的一个拓扑。当且仅当：

1．X和空集{}都属于T；

2．T中任意多个成员的并集仍在T中；

3．T中有限多个成员的交集仍在T中。

称集合X连同它的拓扑τ为一个拓扑空间，记作（X,T）。

称T中的成员为这个拓扑空间的开集。

定义中的三个条件称为拓扑公理。（条件（3）可以等价的换为τ中两个成员的交集仍在τ中。）

从定义上看，给出某集合的一个拓扑就是规定它的哪些子集是开集。这些规定不是任意的，必须满足三条拓扑公理。

一般说来，一个集合上可以规定许多不相同的拓扑，因此说到一个拓扑空间时，要同时指明集合及所规定的拓扑。在不引起误解的情况下，也常用集合来代指一个拓扑空间，如拓扑空间X，拓扑空间Y等。

同时，在拓扑范畴中，我们讨论连续映射。定义为：f: (X,T1) ------> (Y,T2) （T1,T2是上述定义的拓扑）是连续的当且仅当开集的原像是开集。两个拓扑空间同胚当且仅当存在一一对应的互逆的连续映射。同时，映射同伦和空间同伦等价也是很有用的定义。