曾远荣曾是国内《数学学报》、《数学进展》的早期编委之一（1951年），中国数学会南京分会理事会副主席（1951年左右）。1956年去北京参加编制中国科学院十年科学发展远景规划，同年冬和田方增、徐利治教授去苏联莫斯科参加国际泛函分析会议，曾远荣应邀在大会作了题为《广义逆算子的固有函数展开》的报告，极受欢迎。

中华人民共和国成立后不久对旧专业进行改造和充实，当时曾远荣任南京大学函数论教研室主任，1955年起由于国民经济发展需要，他坚持要发展计算数学，并得到领导的支持。于是他集中人才，收集资料，有计划有步骤地带领一批中青年开展学术讨论班，对分析中数值方法、微分方程数值解、线代数计算、函数逼近论及计算数学的理论与应用，大力开展学习研究。南京大学作为一个基点，是国内最早开展计算数学研究的单位之一，由此逐步发展到开课、招生，于1958年正式建立计算数学专业。形势发展证明成立该专业的迫切性与重要性。当时，南京大学数学系计算数学已初具规模，这与曾远荣的推动是分不开的。不久他又建议数学系派徐家福先生去苏联学习电子计算机。此后不久，南京大学于1958年又成立了计算机专业。与此同时在教研室内还指导他人搞逼近论，他认为这对计算数学的理论基础、对泛函分析的应用都有很大帮助。在今日看来，南京大学的计算数学、计算机科学、泛函分析与函数逼近论等方面已得到蓬勃发展，这完全实现了他早年的意图。

自1950年到南京大学后，曾远荣教过多种课程，如分析中的线性变换、近世代数、实变函数、泛函分析等等。在教学中他能结合中国古代数学成就，启发学生的爱国思想，常告诫学生不要轻视自己。例如，他常常讲我国古代在圆周率、大衍求一术、商高定理方面的成就，并主张用中国名称命名；在讲到高次方程的数值解时，特别介绍林士锷法。对中国数学史他有极大的兴趣。

他向学生推荐苏联著作也很积极。在中译本未出版时他即选用苏联教材作为授课内容。学生们印象很深的是他推荐苏联的两本教材：И.П.纳唐松（Haтaнсон）的《实变函数论》与Л.A.柳斯捷尔尼克（Люстеpник）、C.Л.索伯列夫（Cоболeв）合著的《泛函分析概要》。他一方面讲解其中定理，一方面说出其中奥妙，但他在黑板上写的甚为简洁，一旦定理证完，就拍拍手上的粉笔灰连说：“好极了，好极了！”不少学生只顾抄笔记，来不及思考，哪里知道妙在何处呢？像勒贝格（Lebesgue）测度的构造，维塔利（Vitali）覆盖引理及它的用意，证明中选取区间的方法等等，其精微处他都点到了，而且经常在课上给予赞叹性的评论。

他的严密态度还不止在教学方法上，还要求学生学数学时一点不能含糊，对数学上一些含糊的说法要特别注意。例如他说几乎处处连续一词不好，应说不连续点集为零集；要学生注意线性泛函的扩张定理的证明，因为有的书证错了。对于连人名都拼错的地方，如把Lebesgue误写为Lebesque、把Hausdorff误写成Housodoff等，他均予强调指出，给人留下深刻的印象。

50年代曾远荣在数学系里经常开新课，目的是让学生获得新知识，跟上时代步伐。由于那时中文教材极为缺乏，他便自选自编，一边编写一边讲授，深怕内容不成熟，故声明不许其他人来听课。一次，一位进修教师不问底细，坐下来便听，突然被曾远荣教授发现了，便问他是哪个单位的，使他感到十分紧张。在50 年代中期，因学习苏联而推行口试考试，限定每人不得超过30分钟。在一次考实变函数论时，每当一位学生回答不合要求时，他便要他再去考虑，但学生想了些时间还是想不出，他还要学生再去考虑。即使考卷上问题答好了，他也要提出补充问题，似乎定要学生弄清一切有关的问题为止。这样，旁边备考教室里的人越来越多，而离开考场的人寥寥无几。有不少人从早考到晚，连饭也吃不上。在他看来，这是对学数学的一种磨炼，要想成为数学家，这种磨炼功夫是不可少的。

曾远荣教授是我国泛函分析界的元老，也是我国第一位从事泛函分析研究的学者。早在本世纪30年代，曾远荣教授就有很多重要贡献。从1932年起，他引入了维数不加限制的，实、复数域或四元数体上的线性空间，在其上定义了内积——即埃尔米特（Hermite）对称双线性泛函数（F，g）。对这类空间他进行了一系列的研究，包括有界线性泛函数的表现，无界自伴算子的固有值及其谱表现等问题（他获得一些结果的时间比某些外国著名学者，如F.里斯（Riesz），F.雷利希（Rellich），乐维希（Lowig），O.泰希米勒（Teichmüller）为早）。在数学文献上，算子谱论被誉为一个“数学杰作”，这里主要指内积空间线性算子谱论。曾远荣1933年的博士论文（1936年出版），在当时谱论发展上是一个重要突破，在不可分的四元数内积空间中，研究无界自伴算子的特征值问题，甚至作出了这种算子的唯一的三部分解：（a）绝对连续算子，（b）奇异连续算子，（c）点谱算子。并且，作出了相应的固有展开。尤其对两种连续谱算子都运用黑林格（Hellinger）积分为射影算子。而在此之前，即使在可分的希尔伯特（Hilbert）空间中有界埃尔米特变换的研究中，也没有出现三部分解。1942年他引进了巴拿赫（Banach）空间及内积空间中的广义双直交系，扩展了国外工作者所提的问题，得到更好的结果。希尔伯特空间及其中线性算子的理论是泛函分析中历史最悠久的分支。曾远荣一直从事着这方面的研究，他引进了逼真解与广义逆的概念。他运用近代算子理论来研究广泛的线性方程

x′A12=g2，x∈D1（A）. （*）

其中A12是由内积空间m1中稠集D1（A）到内积空间m2的闭算子，g2是m2中已知元。如果方程无解，它就叫作矛盾方程。他引进了矛盾方程的“矛盾度”ρ（0≤ρ≤1），并确定了ρ的具体表达式。他引进了基本概念“极端逼真解”。元x′Δ叫做方程（*）的逼真解，是指

而在逼真解中具有最小模的x′*，叫做（*）的极端逼真解。当方程（*）有解时，逼真解就是（真）解。他证明了极端逼真解的唯一性，并得出逼真解存在的充分必要条件，以及极端逼真解的范数的估值。若g2属于D2（A*），那么原方程的逼真解与正常方程

x′A12A*21=g2A*21

的真解重合，而

x′*=g2A*21（Q11）-1，

这里Q11=A12A*21。

设x′m是x′A12=g2的极端逼真解，而对于D2（A*）（意义与D1（Q）类似）中任何u2，数列（u2，）收敛于（u2，g2），那么：①为了x′m弱收敛，必须且只须‖x′m‖是有界数列；②为了x′m强收敛，必须且只须

在每个收敛场合，x′m的极限就正是x′A12=g2的极端逼真解。

他用这里的方法与谱论结合来解决二次泛函数

F（x）=Q（x）+λ‖x‖2+L（x）+C

的简化问题（Q（x）是无界封闭二次齐性泛函，L（x）为有界线性泛函），得出充分必要条件及解的公式，如果m1=m2，而算子A是自伴的（或正规的），那么极端逼真解还具有希尔伯特—施密特（Schmidt）-卡莱曼（Carleman）型的固有展开。

直到40年代，在内积空间中逆算子问题上的主要工作是有界无穷矩阵的特普利茨（Toeplitz）分类，G.朱利亚（Julia）的改进（只提出7类）和穆尔的广义逆矩阵。曾远荣沿着根本不同的思路完成了关于逆算子的一个系统研究（分为16类）。

设m1，m2是内积空间，A12是稠定的、由D1≡D1（A）到m2的（无界）线性算子，R21是由到m1的（无界）稠定线性算子。令P1，P2各表示D2R21，D1A12上的直交投影算子，R21叫做A12的广义逆算子，这是指

A12R21=P1，R21A12=P2.他提出了广义逆算子存在的充分必要条件，证明这时A12具有唯一的极大广义逆算子，并且确定了的定义域。特别正好就是方程x′A12=g2的极端逼真解，任一闭算子A12都具有唯一的闭广义逆算子R21，并得出R21的表达式。为了A12具有有界的广义逆算子必须且只须对于m2中任意元y2，方程x′A12=y2都有逼真解。他从一种几何观点把封闭算子（有界或否）分为4大类，每类再分4小类，并对其中3大类及其各小类得出它们的特征。

曾远荣提出并应用逼真解和广义逆算子解决L.O.黑塞（Hesse）标准型问题：任何泛函方程x′A12=g2的黑塞标准型是，这里是B2的广义逆算子，而W12与B2是A的唯一极坐标算子：A12=W12B2。事实上，对于m1中任一点h′，范数恰是方程x′A12=g2的逼真解全体所成的“超平面”与h′之间的距离。

现在举世公认，曾远荣教授是广义逆的奠基人，人们称“曾广义逆”，在国际上具有广泛的影响。广义逆还渗透到计算数学等分支中，成为计算数学的重要内容。

曾远荣还继续了他关于广义双直交系的工作，他把H.К.巴里（БapИ）、A.T.塔尔德金（Талдыкин）的1951年的主要结果推广到一般内积空间中的不可数的广义双直交系，并且减少了原来结果的主要条件，增补了具体结果：设P是具任意势的无穷集，则

E*≡（E*（P′，P″）|P′，P″∈P）

是（半定）正性埃尔米特型矩阵。为了（对于E*的）广义双直交系（gp）的格拉姆（Gram）矩阵Eg具有下模M*（Eg）＞0，必须且只须Eh具有Eg模。这时，在g系的线性闭包中存在唯一的线性封闭算子B，使hp=gpB，这里（hp）是g′系（对于E*）的伴随系，B是有界正定埃尔米特型算子。作者也给出B的显明公式，设两个元素（gp）、（hp）满足（gp′，gp″）=E*（P′，P″），P′，P″∈P，而其中某一系的闭包含在另一系的闭包中，若g系的与h系的格拉姆矩阵具有相互的模，那么两个闭包相等，而（gp）与（hp）都是闭包的广义里斯基底（对于E*）。

在谱论的基础上运用黑林格型积分的固有展开，是有重要意义的，曾远荣在这方面作了重要探讨，他是从复数域上内积空间中正规算子的三部固有展开

出发进行探讨的，其中F（ω）是连续函数并属于

fα是A的固有元，gβ（w）是特异固有微分元，hγ（w）是绝对连续的固有微分元，各指标集[α]，[β]，[γ]都不必是可数的。

1979年11月在济南召开的“第二次全国泛函分析学术交流会”上，曾远荣发表了题为《泛函分析的作用和趋势》的报告。首次提出了“泛函数学”作为一门新的数学分支。这里重要的是：它并非几种项目的“混合”，而是一个由各门学科融合而成的有机整体。例如，报告中特别强调无穷维空间（尤其是不可分空间）中的代数拓朴、代数几何、微分几何及微分拓扑。

从30年代初开始，曾远荣教授在泛函分析的教学与研究上辛勤耕耘了60个春秋，他对工作一丝不苟，兢兢业业，培养和造就了一大批数学人才。

早期在清华大学，他招收了徐贤修作为研究生。在西南联合大学工作时，国际上著名物理学家杨振宁博士曾听过他的授课。已故著名数学家，前中国科学院系统科学研究所所长，学部委员关肇直教授出自他的门下。解放前，作为他的突出的学生，还有著名数学家田方增教授、江泽坚教授、徐利治教授。解放后他积极培养新生力量，特别是多次培养研究生并指导南京大学数学系函数论教研室其他教师积极从事研究工作，在治学思想方法与对数学本质的认识方面，他的学生们都深受教益。在他的指导与带领下，他的绝大部分学生均已成为副教授、教授，并均已成为南京大学以及其他大学（如浙江大学）教学及科研方面的骨干，有数位还被评为博士生导师。

曾远荣于1994年2月逝世。在逝世前不久，虽然已是89岁高龄，他仍然经常出入南京大学数学系图书室，查找、翻阅资料，积极从事研究工作，掌握新的学术动态。他经常向中青年教师提出关于研究方向的建议，向领导提出对数学教育改革的看法。自云：虽然退休，仍要努力，贡献自己的晚热。他不赞成“余热”的提法，说晚热有时是很强烈的，这种一辈子献身科学事业的精神，令人钦佩不已。

1903年10月3日 生于四川省南溪县。

1919年7月 录取于清华学校留美预备部。

1927-1933年 留学美国在芝加哥大学取得硕士学位，博士学位。

1933-1934年 任中央大学教授。

1934-1942年 任清华大学教授。

1942-1945年 任成都燕京大学客座教授。

1945-1950年7月 任四川大学数学系主任。

1950年7月 任南京大学数学系教授。

1994年2月2日 逝世于南京。