在奇数维度时的体积公式里，对每个奇数 ，双阶乘 定义为

令 为一度量空间，即具有度量（距离函数） 的集合 。中心为 内的点 ，半径为 的开球，通常标计为 或 ，定义为

其闭球，可标计为 或 ，则定义为

请特别注意，一个球（无论开放或封闭）总会包含点 ，因为依定义， 。

开球的闭包通常标记为 。虽然 与 总是成立的，但 则不一定总是为真。举例来说，在一个具离散度量的度量空间 里，对每个 内的 而言，{ ，但 。

一个（开或闭）单位球为一半径为 1 的球。

度量空间的子集是有界的，若该子集包含于某个球内。一个集合是全有界的，若给定一正值半径，该集合可被有限多个具该半径的球所覆盖。

度量空间里的开球为拓扑空间里的基，其中所有的开集合均为某些（有限或无限个）开球的联集。该拓扑空间被称为由度量 导出之拓扑。

每个具范数 |·| 的赋范向量空间亦为一度量空间，其中度量 。在此类空间里，每个球 均可视为是单位球 平移 ，再缩放 后所得之集合。

前面讨论的欧氏空间里的球亦为赋范向量空间里球的一例。

在具 p-范数 的笛卡尔空间 里，开球是指集合

在二维 时， （通常称为曼哈顿度量）的球是对角线平行于坐标轴的正方形；而 （切比雪夫度量）的球则是个边平行于坐标轴的正方形。对于 的其他值，该球则会是超椭圆的内部。

在三维 时， 的球是个对角线平行为坐标轴的八面体，而 的球则是个边平行为坐标轴的正立方体。对于 的其他值，该球则会是超椭球的内部。

更一般性地，给定任一 内中心对称、有界、开放且凸的集合 ，均可定义一个在 的范数，该球均为 X 平移再一致缩放后所得之集合。须注意，若将此定理内的“开”子集以“闭”子集替代，则定理不能成立，因为原点也符合定理内所定之集合，但无法定义 内的范数。

在拓扑学的文献里，“球形”可能有两种含义，由上下文决定。

一词有时被非正式地用于指代任何开集：可以用 点周围的一个球”代表包含的一个开集。该集合同胚于什么依赖于背景拓扑空间以及所选取的开集。同样，“闭球”有时用于表示这样一个开集的闭包。（这可能产生误导，例如超度量空间中一个闭球不是同样半径的开球的闭包，它们都是既开且闭的。）

有时，邻域用于指代这个意义上的球，但是邻域其实有更一般的意义： 的一个邻域是任何包含一个的开集的集合，因此通常不是开集。

内的 维（开或闭）拓扑球是指 X 内同胚于 维（开或闭）欧几里得球的任一子集，该子集不一定需要由某个度量导出。n 维拓扑球在组合拓扑学里很重要，为建构胞腔复形的基础。

任一 维开拓扑球均同胚于笛卡尔空间 及 维开单位超方形 。任一 维闭拓扑球均同胚于 维闭超方形 [0,1]。

维球同胚于 维球，当且仅当 。 维开球 与 间的同胚可分成两种类型，以 的两种可能之拓扑定向来区分。

一个 维拓扑球不一定是光滑的；若该球是光滑的，亦不一定需微分同胚于一 维欧几里得球

由于球体的物理特性，因此生活中很多地方都可以看到球体：

核武器中原子弹（裂变弹）的制造。球形是临界质量最小的一种形状，从单位球形裂变材料中逃逸出来的中子数最少，因此采用裸球，铀235和钚239的临界质量分别为52和10千克（铀235的密度小于钚239）。

在表面张力的作用下，液滴总是力图保持球形，这就是我们常见的树叶上的水滴按近球形的原因。藻类体形多样，但细胞具有趋同的球形或近似球形，是有利于浮游生活的适应。

物质总自然趋于势能最低的状态！球形（或椭球体）是宇宙中大质量天体保持内部受力均衡的主要形式之一。

半圆以它的直径为旋转轴，旋转所成的曲面叫做球面。球面所围成的几何体叫做球体，简称球。半圆的圆心叫做球心。连结球心和球面上任意一点的线段叫做球的半径。连结球面上两点并且经过球心的线段叫做球的直径。用一个平面去截一个球，截面是圆面。球的截面有以下性质：

1） 球心和截面圆心的连线垂直于截面；

2） 球心到截面的距离 与球的半径 及截面的半径 有下面的关系： 。

球面被经过球心的平面截得的圆叫做大圆，被不经过球心的截面截得的圆叫做小圆。

在球面上，两点之间的最短连线的长度，就是经过这两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度，我们把这个弧长叫做两点的球面距离。

球形星团、球形闪电、球形建筑、球形活性炭、球形机器人、球形莎草、彩色球形珍珠、球形蛋白质、球形集珠霉、球形红假单胞菌、足球、篮球、皮球、乒乓球、羽毛球、高尔夫球等。