更新时间：2024-06-24 19:29
设ξ=π:E→M为向量丛。
ξ的欧几里得度量为(ξ⊗ξ)*的截面s，满足对M中任意b，s(b)为纤维Eb的内积。
任意向量丛均允许存在欧几里得度量。
拓扑空间M的切丛TM的欧几里得度量，称为M的黎曼度量，并称M具有黎曼结构，定义了黎曼结构的流形称为黎曼流形。
向量丛为可平行流形，若其为平凡丛。
复向量丛η的复共轭为。
实向量丛η的复化c(η)的纤维空间为ℂ⊗RF，结构群为G×G。
复向量丛η1的实化r(η1)满足cr(η1)=η⨁，rc(η)=η⨁η。
设ξ为n维光滑流形B上的n阶向量丛。B可被n+1个集U0,...,Un覆盖，使得限制ξ|Ui为平凡丛。
设ξ为B上n阶向量丛，γn,k为格拉斯曼流形Gn,k上的n阶万有丛，当l足够大时，存在映射f:B→Gn,l，满足ξ≅f*γn,l。Gn,l称为分类空间，f称为分类映射。
设B为k维光滑流形，则存在双射Vectn(B)↔[B,Gn,n(2k+1)]，其中Vectn(B)为B上向量丛ξ的等价类，[B,Gn,n(2k+1)]为ι∘f的同伦类，f:B→Gn,k为ξ的分类映射，ι:Gn,nk→Gn,n(2k+1)为包含映射。
一个从向量丛π1:E1→X1到向量丛π2:E2→X2的态射（morphism）是一对连续映射f:E1→E2和g:X1→X2使得
所有向量丛的类和丛的射组成了一个范畴。限制到光滑流形和光滑丛射，我们就有了光滑向量丛的范畴。
我们可以考虑有一个固定底空间X的所有向量丛组成的范畴。我们取那些在底空间X上为恒等映射（identity map）的射作为在这个范畴中的射. 也就是说，丛射满足下面的交换图：
（注意这个范畴不是可交换的；向量丛的射的核通常不能很自然的成为一个向量丛。）
给定一个向量丛π:E→X和一个开子集U,我们可以考虑π在U上的截面，也就是连续函数s:U→E满足πs= idU.本质上，截面给U的每一点一个从附在该点的向量空间中所取的向量，取值要有连续性。
例如，微分流形的切丛的截面就是流形上的向量场。
令F(U)为U上所有截面的集合.F(U)总有至少一个元素：把V中的x映射到π（{x}）的零元的函数s.使用每点的加法和数乘，F(U)本身也成为了向量空间.这些向量空间的总和就是X上的向量空间的层。
若s属于F(U)而α:U→R是一连续映射，则αs属于F(U).我们可以看到F(U)是一个U上的连续实值函数的环上的模。进一步讲，若OX表示X上连续函数的层结构，则F是OX-模的一个层。
不是OX-模的每个层都是以这种方式从向量丛的导的：只有局部自由层可以从这种方法得到。（理由：局部的，我们要找一个投影U×R→U的一个截面，这些恰好是连续函数U→R,并且这一函数是连续函数U→Rn-元组.）
更进一步讲：X上的实向量丛的范畴是等价于OX-模的局部自由和有限生成的层的。
所以我们可以将向量丛视为位于OX-模的层的范畴内；而后者是可交换的，所以我们可以计算向量丛的射的核。
两个X上的在同一个域上的向量丛，有一个惠特尼和,在每点的纤维为那两个丛的纤维的直积。同样，纤维向量积和对偶空间丛也可以这样引入。
向量丛是纤维丛的特例。
光滑向量丛定义为满足E和X是光滑流形，π:E→X是光滑映射，而局部平凡化映射φ是微分同胚的向量丛。
把实向量空间换成复的，就得到了复向量丛。这是结构群的约化的特例。也可以用其他拓扑域上的向量空间，但相对比较少见。
如果我们允许在局部平凡化中使用任意巴拿赫空间（而不仅是R），就可以得到巴拿赫丛。