简谐运动

更新时间:2024-04-23 16:17

简谐运动是最基本也最简单的机械振动。当某物体进行简谐运动时,物体所受的力跟位移成正比,并且总是指向平衡位置。它是一种由自身系统性质决定的周期性运动(如单摆运动和弹簧振子运动)。

运动方程

定义

物体受力大小与位移成正比,而方向相反,人们把具有这种特征的振动称为简谐运动。

表达式

简谐运动方程:

根据该运动方程式,我们可以说位移是时间t的正弦余弦函数的运动是简谐运动。简谐运动的数学模型是一个线性常系数常微分方程,这样的振动系统称为线性系统。线性系统是振动系统最简单最普遍的数学模型。但一般情况下,线性系统只是振动系统在小振幅条件下的近似模型。

特征量

振幅

振幅反应了振动的强度,它是由初始条件决定的。上述运动方程中A即为该振动的振幅。

周期、频率、圆频率

物体经过一次全振动所经历的时间叫作振动的周期,用T表示。与周期密切相关的是频率,即单位时间内物体所作的完全振动次数叫作频率,用f表示。

2π秒内所作的完全振动次数叫作圆频率(角频率),即上述运动方程中的ω。它与周期T和频率f之间的关系为 、 。

简谐运动的圆频率是由系统的力学性质所决定的,故又称为固有圆频率。例如弹簧振子的圆频率公式如下,其中,k和m分别表示弹簧振子的刚度和质量,对于给定的弹簧振子,圆频率仅与自身的刚度和质量有关,是由本身的性质所决定的。

相位与初相位

我们把确定物体任意时刻运动状态的物理量称为相位(或位相),用φ表示,表达式如下所示,其中 是t=0时的相位,又称为初相位。

简谐运动的速度与加速度

简谐运动是一种变速与变加速运动。其速度与加速度可以由简谐运动方程(位移-时间方程)通过微分得到。于是,在假设通解 情况下,可得

速度:

加速度:

简谐运动的能量

简谐运动的振动动能和振动势能分别为

简谐运动的总机械能

该式子表明,简谐运动的总能量与振幅的平方成正比,而简谐运动是等幅振动,因此简谐运动的总机械能必然守恒。

简谐运动的合成

同方向同频率

设两个同方向同频率的简谐运动方程分别为

则两个简谐运动的合成之后的运动仍为简谐运动,其方程为

其中,合振幅 为 与 的矢量和,如上图所示。合振幅与合振动的初相的表达式如下所示:

同方向不同频率

设两个同方向不同频率的简谐运动方程分别为

合振动的方程为

三角恒等变换后得到

由式子可知,同方向不同频率的简谐运动合成之后便不再是简谐运动,它的振幅时而增大时而减小,合成波动图如下所示。

简谐运动的应用

简谐振动是最简单最基本的振动,任何复杂的振动都可视为若干个简谐运动的合成。而振动波动的基本规律又是声学地震学电工学电子学光学等的基础。

电工学

在电工学中有一种正弦交流电路是,是线性电路中当激励(电压源或电流源)按某一正弦规律变化,响应(电压或电流)也为同频率的正弦量时,电路的这种工作状态称为正弦稳态。此时的电路称为正弦稳态电路,或正弦交流电路。它的电流可表示为,其中Im为正弦量的振幅,(ωt+φi)称为相位或相角,ω称为正弦量的角频率,它是正弦量的相位随时间变化的角速度。

结构动力学

建筑结构的受力分为静力荷载和动力荷载,其中动力荷载中若荷载随时间变化较大时则需要进行动力荷载验算,如地震荷载。在动力荷载计算时,要以最简单的单自由度体系的自由振动为基础,如下图悬臂立柱结构可简化为一个弹簧振子模型。该自由振动的微分方程的解就是一个简谐运动: ,其中A表示质点振动的最大位移,α为初相位。ω为自振频率,仅与结构体系自身的质量和刚度有关,它是表明结构动力性能的重要指标。

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