更新时间：2022-08-25 14:27
线性积分方程(linear integral equation)是积分方程的主要研究对象，若方程中未知函数包含在积分号下，这个方程称为积分方程。当积分方程中的未知函数是一次时，就称为线性积分方程。
线性积分方程的一般形式是
其中 是未知函数， ， 和 都是已知函数， ，a，b是常数，变量 和 可取区间（a，b）内的一切值。 称为积分方程的核， 称为自由项， 称为方程的参数。若 =0，则称该积分方程为齐次积分方程，否则称为非齐次积分方程。
线性积分方程与数学的其他分支有紧密而重要的联系，例如，微分方程、泛函分析、复分析、计算数学、位势理论和随机分析等。甚至它的形成和发展是很多重要数学思想和概念的最初来源和模型。例如，对泛函分析中平方可积函数、平均收敛、算子等的形成，对一般线性算子理论的创立，以至於对整个泛函分析的形成都起着重要的推动作用。积分方程论中许多思想和方法，例如，关於第二种弗雷德霍姆(Fredholm)积分方程的弗雷德霍姆理论和奇异积分方程的诺特(Noether)理论以及逐次逼近方法，本身就是数学中经典而优美的理论和方法之一。
线性积分方程可分为一维弗雷德霍姆积分方程（ 方程）、n维弗雷德霍姆积分方程、沃尔泰拉积分方程等。其中一维弗雷德霍姆积分方程（ 方程）又分为三类：
第一类 方程：
第二类 方程：
第三类 方程：
n维弗雷德霍姆积分方程：
式中，D是n维空间中的区域， ，它们的坐标分别是 和 。其中 ， 和 是已知函数， 是未知函数。关于 方程的解法，一维和n维（n>1）完全类似。
D.希尔伯特和E.施密特对第二种弗雷德霍姆积分方程做了重要的工作，特别是关于对称核积分方程的特征值存在性，对称核关于特征函数序列的展开，以及希尔伯特 -施密特展开定理等。至于第一种弗雷德霍姆积分方程，早在1828年就为G.格林在研究位势理论以解决拉普拉斯方程的狄利克雷问题时所导出。
线性积分方程理论的发展，始终与数学物理问题的研究紧密相联，它在工程、力学等方面有着极其广泛的应用。通常认为，最早自觉应用线性积分方程并求出解的是阿贝尔(Abel)，他在1823年研究质点力学问题时引出阿贝尔方程。此前，拉普拉斯(Laplace)于1782年在数学物理中研究拉普拉斯变换的逆变换以及傅里叶(Fourier)于1811年研究傅里叶变换的反演问题实际上都是解第一类积分方程。随着计算技术的发展，作为工程计算的重要基础之一，线性积分方程进一步得到了广泛而有效地应用。如今，“物理问题变得越来越复杂，线性积分方程变得越来越有用”。线性积分方程与数学的其他分支，例如，微分方程、泛函分析、复分析、计算数学、位势理论和随机分析等都有着紧密而重要地联系。甚至它的形成和发展是很多重要数学思想和概念的最初来源和模型。例如，对泛函分析中平方可积函数、平均收敛、算子等的形成，对一般线性算子理论的创立，以至於对整个泛函分析的形成都起着重要的推动作用。线性积分方程论中许多思想和方法，例如，关于第二种弗雷德霍姆(Fredholm)积分方程的弗雷德霍姆理论和奇异积分方程的诺特(Noether)理论以及逐次逼近方法，本身就是数学中经典而优美的理论和方法之一。