父亲威廉·魏尔斯特拉斯是受法国雇佣的海关职员，威廉在家里十分严厉而且专断。14岁卡尔进附近帕德博恩城的一所天主教预科学校学习，在那里学习德语、拉丁语、希腊语和数学。中学毕业时成绩优秀，共获7项奖，其中包括数学，但不容卡尔有半句分辩，他的父亲却把他送到波恩大学去学习法律和商业，希望他将来在普鲁士民政部当一名文官。

魏尔斯特拉斯对商业和法律毫无兴趣。在波恩大学他把相当一部分时间花在自学他所喜欢的数学上，攻读了包括拉普拉斯的《天体力学》在内的一些名著。他在波恩的另一部分时间则花在了击剑上。魏尔斯特拉斯体格魁伟，击剑时出手准确，加上旋风般的速度，很快就成为波恩人心目中的击剑明星。这样在波恩大学度过四年之后，魏尔斯特拉斯回到家里，没有得到他父亲所希望的法律博士学位，连硕士学位也没有得到。这使他父亲勃然大怒，呵斥他是一个“从躯壳到灵魂都患病的人”。这时多亏他家的一位朋友建议，魏尔斯特拉斯被送到明斯特去准备教师资格考试。

1841年，他正式通过了教师资格考试。在这期间，他的数学老师居德曼认识到他的才能。居德曼（C.Gudermann）是一位椭圆函数论专家，他的椭圆函数论给了魏尔斯特拉斯很大影响，魏尔斯特拉斯为通过教师资格考试而提交的一篇论文的主题就是求椭圆函数的幂级数展开。居德曼在这篇论文的评语中写道：“论文显示了一位难得的数学人才，只要不被埋没荒废，一定会对科学的进步作出贡献”。

居德曼的评语并没有引起任何重视，魏尔斯特拉斯在获得中学教师资格后开始了漫长的中学教师生活。他在两处偏僻的地方中学度过了包括30岁到40岁的这段数学家的黄金岁月。他在中学不光是教数学，还教物理、德文、地理甚至体育和书法课，而所得薪金连进行科学通信的邮资都付不起。但魏尔斯特拉斯以惊人的毅力，过着一种双重的生活。他白天教课，晚上攻读研究阿贝尔等人的数学著作，并写了许多论文。其中有少数发表在当时德国中学发行的一种不定期刊物《教学简介》上，但正如魏尔斯特拉斯后来的学生、瑞典数学家米塔·列夫勒所说的那样：“没有人会到中学的《教学简介》中去寻找有划时代意义的数学论文”。不过魏尔斯特拉斯这一段时间的业余研究，却奠定了他一生数学创造的基础。

而且，这一段当时看起来默默无闻的生活，其实蕴含着巨大的力量——这就不得不提到魏尔斯特拉斯一个最大的特点：他不仅是一位伟大的数学家，而且是一位杰出的教育家！他是如此热爱教育事业，如此爱护他的学生，以致先不要提他日后培养出的一大批有成就的数学人才（其中最著名的有：柯瓦列夫斯卡娅（1850.1.15-1891.2.10，俄国女数学家、作家、政论家）、H.A.施瓦茨（Schwarz，Hermann Amandus，1843.1.25-1921.11.30，法国数学家）、I.L.富克斯（Fuchs，Immanuel Lazarus，1833.5.5-1902.4.26，法国数学家）、M.G.米塔-列夫勒（Mittag-Leffler，Magnus Gustaf，1846.3.16-1927.7.7，瑞典数学家）、F.H.朔特基（Schottky，Friedrich Hermann，1851.7.24-1935.8.12，法国数学家）、L.柯尼希贝格（Konigsberger，Leo，1837.10.15-1921.12.15，法国数学家）等），即便是在这偏僻的中学当预科班的数学老师的时候，他为了能够让自己的学生们更好地理解微积分中最重要的极限概念，而改变了柯西等人当时对极限的定义，创造了著名的、直到大学数学分析教科书中一直沿用的极限的ε-δ定义，以及完整的一套类似的表示法，使得数学分析的叙述终于达到了真正的精确化。

一直到1853年，魏尔斯特拉斯将一篇关于阿贝尔函数的论文寄给了德国数学家克雷尔主办的《纯粹与应用数学杂志》（常常简称《数学杂志》），这才使他时来运转。克雷尔的杂志素以向有创造力的年青数学家开放而著称。阿贝尔的论文在受到柯西等名家冷落的情况下却被克雷尔杂志在1827年刊登出来；雅可比的椭圆函数论论文、格林的位势论论文等数学史上的重要文献，也都是在别处得不到发表而在克雷尔的帮助下用他的杂志发表的。这一次克雷尔又出场了。他接受了魏尔斯特拉斯的论文并在第二年就发表出来，随即引起了轰动。哥尼斯堡大学一位数学教授亲自到魏尔斯特拉斯当时任教的布伦斯堡中学向他颁发了哥尼斯堡大学博士学位证书。普鲁士教育部宣布晋升魏尔斯特拉斯，并给了他一年假期带职从事研究。此后，他再也没有回到布伦斯堡。

1856年，也就是他当了15年中学教师后，魏尔斯特拉斯被任命为柏林工业大学数学教授，同年被选进柏林科学院。他后来又转到柏林大学任教授直到去世。

1、在解析函数方面

他用幂级数来定义解析函数，并建立了一整套解析函数理论，与柯西（Cauchy，Augustin-Louis，1789.8.21-1857.5.23）、黎曼（Riemann，Georg Friedrich Bernhard，1826.9.17-1866.7.20）一起被称为函数论的奠基人。从已知的一个在限定区域内定义一个函数的幂级数出发，根据幂级数的有关定理，推导出在其它区域中定义同一函数的另一些幂级数，这是他的一项重要发现。他把整函数定义为在全平面上都能表示为收敛的幂级数的和的函数；还断定，若整函数不是多项式，则在无穷远点有一个本性奇点。魏尔斯特拉斯关于解析函数的研究成果，组成了现今大学数学专业中复变函数论的主要内容。

2、在椭圆函数方面

椭圆函数是双周期亚纯函数，是从求椭圆弧长引起的。有关研究是19世纪的热门课题。继阿贝尔、雅克比之后，魏尔斯特拉斯在这方面作出了巨大贡献。1882年，他将椭圆函数分别化成含有一个三次多项式的平方根的3个不同形式，把通过“反演”的第一个积分所得的椭圆函数作为基本的椭圆函数，还证明了这是最简单的双周期函数。他证明了每个椭圆函数均可用这个基本椭圆函数和它的导函数简单地表示出来。总之，魏尔斯特拉斯把椭圆函数论的研究推到了一个新的水平，进一步完备了、改写了、并且美化了其理论体系。

3、在代数领域

1858年，他对同时化两个二次型成平方和给出了一般方法，并证明了若二次型之一是正定的，即使某些特征值相等，这个化简也是可能的。1868年，他已完成二次型的理论体系，并将这些结果推广到了双线性型。

4、在变分学方面

1879年，他证明了弱变分的3个条件，即函数取得极小值的充分条件。此后，他转向了强变分问题，并得到了强变分的极大值的充分条件。在变分学方面还得到了不少的其它成果。

5、在微分几何方面

魏尔斯特拉斯研究了侧地线和最小曲面。

6、在数学分析方面

在数学史上，魏尔斯特拉斯关于分析严格化的贡献使他获得了“现代分析之父”的称号。他是把严格的论证引进分析学的一位大师，为分析严密化作出了不可磨灭的贡献，是分析算术化运动的开创者之一。这种严格化的突出表现是创造了一套语言，用以重建分析体系。他批评柯西等前人采用的“无限地趋近”等说法具有明显的运动学含义，代之以更严密的表述，用这种方式重新定义了极限、连续、导数等分析基本概念，特别是通过引进以往被忽视的一致收敛性而消除了微积分中不断出现的各种异议和混乱。可以说，数学分析的严密形式，本质上归功于魏尔斯特拉斯的工作。

他证明了（1860）：任何有界无穷点集，一定存在一个极限点。早在1860年的一次演讲中，他从自然数导出了有理数，然后用递增有界数列的极限来定义无理数，从而得到了整个实数系。这是一种成功地为微积分奠定理论基础的理论。

为了说明直觉的不可靠，1872年7月18日魏尔斯特拉斯在柏林科学院的一次讲演中，构造了一个连续函数却处处不可微的例子，由此一举改变了当时一直存在的“连续函数必可导”的重大误解，震惊了整个数学界！这个例子推动了人们去构造更多的函数，这样的函数在一个区间上连续或处处连续，但在一个稠密集或在任何点上都不可微，从而推动了函数论的发展。

早在1842年，魏尔斯特拉斯就有了一致收敛的概念，并利用这一概念给出了级数逐项积分和在积分号下微分的条件。

1885年，魏尔斯特拉斯所证明的用多项式任意逼近连续函数的定理，是二十世纪的一个广阔研究领域函数构造论，即函数的逼近与插值理论的出发点之一。

另外，魏尔斯特拉斯还研究了天文学中的n体问题和光的理论。

魏尔斯特拉斯一生热爱数学，热爱教育事业，热情指导学生，终身孜孜不倦。他不计个人名利，允许学生们或别人把他的研究成果用种种方式传播，而不计较功绩谁属的问题，这种高贵品德也是十分可贵的。他培养出了一大批有成就的数学人才，尤其是世界历史上第一位数学女博士：柯瓦列夫斯卡娅（Софья Васильевна Ковалевская，1850年1月15日-1891年2月10日，俄国女数学家，德国格丁根大学哲学博士，曾任瑞典斯德哥尔摩大学教授。在偏微分方程和刚体旋转理论等方面有重要贡献。1888年因解决刚体绕定点旋转问题而获得法兰西科学院鲍廷奖，并成为圣彼得堡科学院院士，是俄国历史上获此称号的第一个女性。）。

要知道，在当时的整个欧洲社会风气下，大多数人反对妇女接受正规教育，妇女根本不能进大学的门！柯瓦列夫斯卡娅为了能在彼得堡进大学听课，是付出了“假结婚”的代价，才脱离了父母的监护和控制。可即便如此，她在彼得堡也只能当一个偷偷摸摸的旁听生，在丈夫、亲戚和好心的同学们掩护下，一次次躲过学校监察人员的眼睛。而当她和丈夫来到德国以后，虽然听课的自由基本是有了，可无论是正式入学，还是参加考试，身为一个女性都面临着极为严苛的歧视。柯瓦列夫斯卡娅虽然表现了极好的人品以及数学天赋，可是在海德堡却找不到一位数学教授能够收她为弟子，因为人言可畏。

于是柯瓦列夫斯卡娅不得不直接来柏林求助于人品有口皆碑的魏尔斯特拉斯。在亲自考查并写信询问了海德堡这个特殊的女学生的数学专业能力以及人品后，魏尔斯特拉斯深深为索菲娅・柯瓦列夫斯卡娅的抱负所感动。于是他决定单独在家里教授她（因为他自己的学生里就有不少坚决反对女子入学的）——这一教，就是四年！

四年里，一直都是魏尔斯特拉斯在课堂讲一遍，再回家里为柯瓦列夫斯卡娅单独讲一遍。四年中，索菲娅・柯瓦列夫斯卡娅不仅完成了所有大学课程，而且还完成了三篇重要的数学论文，而这时她才23岁。这三篇论文每一篇都足以使她获得“数学家”的称号。于是，又是魏尔斯特拉斯亲自张罗，才让既是受歧视的女性、又是德语并不纯熟的“外来户”的柯瓦列夫斯卡娅顺利拿到了数学博士学位。而未来这个女学生的成就，足以证明她导师爱惜人才、培养人才的眼光之准，心胸之宽阔。

魏尔斯特拉斯很少正式发表自己的研究成果，他的许多思想和方法主要是通过他在柏林工业大学和柏林大学的课堂讲授而传播的，其中有一些后来由他的学生整理发表出来。在1857年开始的解析函数论课程中，魏尔斯特拉斯给出了第一个严格的实数定义，这个定义大意是先从自然数出发定义正有理数，然后通过无穷多个有理数的集合来定义实数。像大多数情况一样，魏尔斯特拉斯只是在课堂上作了讲授。1872年，有人曾建议他发表这一定义，但被魏尔斯特拉斯拒绝了。

他高尚的风范和精湛的教学艺术是永远值得全世界数学教师学习的光辉典范。1873年魏尔斯特拉斯出任柏林大学校长，从此成为大忙人。除教学外，公务几乎占去了他全部时间，使他疲乏不堪。紧张的工作影响了他的健康，但其智力未见衰退。他的70年诞庆典规模颇大，遍布全欧各地的学生赶来向他致敬。10年后80大寿庆典更加隆重，在某种程度上他简直被看作德意志的民族英雄。1897年初，他染上流行性感冒，后转为肺炎，终至不治，于2月19日溘然上逝，享年82岁。

除柏林科学院外，魏尔斯特拉斯还是格丁根皇家科学学会会员（1856）、巴黎科学院院士（1868）、英国皇家学会会员（1881）。

孕育于古希腊时代的微积分的思想与方法，经过漫长时期的酝酿，到了十七世纪，在工业革命的刺激下，终于通过Newton和Leibniz的首创脱颖而出了。微积分的诞生，创造性地把数学推到了一个崭新的高度。它宣告了古典数学的基本结束，同时标志着以变量为研究主体的近代数学的开始。

尽管早期的微积分的概念还比较粗糙，可靠性还受到怀疑，但它在计算技术上展示出来的那种卓越的力量，使得前此一切传统数学都相形见绌。透过微积分的发明，人们看到了数学的新的福地。整个十七、十八世纪，几乎所有的欧洲数学家都对微积分表现出极大的兴趣和积极的奉献。对传统的批判，对新方法的追求，对新领域的拓展，使他们共同谱写了一曲数学史上的“英雄交响曲”！

正如当代分析大师R.Courant指出：“微积分…这一学科乃是一种撼人心灵的智力奋斗的结晶；这种奋斗已经经历了两千五百多年之久，它深深扎根于人类活动的许多领域。并且，只要人们认识自己和认识自然的努力一日不止，这种奋斗就将继续不已。”

“分析算术化”就是这种奋斗的一个侧面的生动体现。

挥之不去的“幽灵”

微积分创立之初，Newton和Leibniz都没有清楚地理解也没有严密地定义微积分的基本概念。首先的批评来自荷兰的物理学家和几何学家B.Nieuwentijdt，他批评新方法的含糊，他抱怨说无法理解无穷小量怎样和0有区别，并质问为什么无穷小量的和能是有限的量。他还质问高阶微分的意义和存在，质问在推理的过程中为何舍弃无穷小量。

Leibniz在1695年的《教师学报》的一篇文章中对此作了各种回答，他承认无穷小不是简单的、绝对的零，而是相对的零。就是说，它是一个消失的量，但仍保持着它那正在消失的特征。Leibniz更强调他所创造的东西在做法上或算法上的价值。他确信只要他清楚地表述并且恰当地运用他的运算法，就会获得合理而正确的结果，而不管所用符号的意义怎样可疑。

随着微积分的概念与技巧的扩展，人们努力去补充被遗漏的基础。Newton的英国追随者试图把微积分和几何或物理概念联结起来时，却把Newton的“瞬”（moments，不可分增量）和“流数”（fluxions，连续变量）混淆了；追随Leibniz的大陆学者致力于形式演算，也无法把概念严格化。法国数学家M.Rolle告诫说：微积分是巧妙的谬论的汇集。

十八世纪对微积分最强有力的批评来自George Berkeley主教。1734年，他发表了《分析学者，或致一个不信教的数学家。其中审查现代分析的对象、原则与推理是否比之宗教的神秘与信条，构思更为清楚，或推理更为明显》。Berkeley正确地批判了Newton的许多论点，他说Newton首先给出x一个增量，然后又让它是零，这违背了“背反律”（the law of contradiction），而且所得的“流数”实际上是00。对于dy与dx之比，Berkeley说它们“既不是有限量也不是无穷小量，但又不是无”，这些变化率只不过是“消失的量的鬼魂”（the ghosts of departed quantities）。Berkeley还攻击l’Hospital和其他欧洲学者提出的微分法。Berkeley说微分之比应该决定割线而不是决定切线，依靠“忽略高级无穷小消除误差”的做法是“错误互相抵偿”。Berkeley的批评一针见血，击中要害。

按照数学本质的现代观点，Berkeley批评中哲学的想象多于数学的严格，但Newton所用的很多名词确实需要逻辑上的澄清。Berkeley批评的意义在于使这一事实引起了重视。结果，在此后的七年中，出现了约有30多种小册子和论文，企图纠正这种情形。如James Jurin于1734年发表《几何学，非不信教的朋友》，Benjamin Robins在1735年著书《论Newton爵士的流数法以及最初比与最终比方法的本质与可靠性》。为了答复Berkeley对Newton在《求积术》中给出的求流数方法的异议，Jurin说：在这种情况下，不是令增量为零，而是让增量“成为消失”或“处在消失点上”，并声称“消失的增量是有最终比的”。Jurin回答表明他没有足够地理解Berkeley的论证或极限概念的本质。Berkeley在《捍卫数学中的自由思想》（1735）中批评Jurin是在“捍卫他所不了解的东西”。在这篇著作中，Berkely再次抓住Newton观点中的矛盾，以说明瞬、流数和极限等概念的含糊不清。Jurin同年在《小小数学家》中的回答，依然是躲躲闪闪地重复其辞。他说“一个初生的增量是一个刚开始存在于乌有中的增量，或刚开始生长的增量，但是还没有达到任何可指定的无论怎样小的量。”他对Newton的最终比还是照字义理解为“在消失那个瞬间的它们的比。”Jurin不用极限去解释Newton关于乘积的“瞬”的引理，反而让自己卷入了无穷小量的纠缠之中，可见这个“消失的量的鬼魂”是很难挥之而去的。

为了回击Berkeley、Colin Maclaurin在他的《流数论》（1742）中，企图建立微积分的严密性。Maclaurin喜爱几何，因而他试图根据希腊几何和穷竭法建立流数学说，他希望这样可以避开极限概念。这是一个值得赞扬，却不正确的努力。

新的探路者

当英国的数学家们忙于论证流数法中所涉及的各种观点的有效性时，微积分在欧洲大陆上正在快速地获得人们的欢迎。

欧洲大陆的数学家更多的依靠代数表达式的形式演算，而不是几何。这种方法的代表是Euler。Euler拒绝把几何作为微积分的基础，而是纯粹形式地研究函数。

Euler形式化的方法的真正贡献是把微积分从几何中解放出来，而使它建立在算术和代数的基础上。这一步至少为基于实数系统的微积分的根本论证开辟了道路。但是，对这种形式主义的做法，仍有人表示忧虑。1743年d’Alembert说，“直到现在，表现出更多关心的是去扩大建筑，而不是在入口处张灯结彩；是把房子盖的更高些，而不是给基础补充适当的强度。”不过，他鼓励学习微积分的学生：“坚持，你就会有信心（Persists and faith will come to you）。”

Lagrange也决心给微积分提供全部的严密性，这从他《解析函数论》（1797）的小标题“包含着微积分学的主要定理，不用无穷小、或正在消失的量、或极限和流数等概念，而归结为有限量的代数分析艺术”可以看出他的雄心壮志。的确，流数法没有引起Lagrange的兴趣，因为它引用了”运动”这一无关的思想。Euler把dx和dy作为0的讲法也不能使他满意，因为对两个变成零的项的比，缺乏清楚而明确的认识。Lagrange致力于寻找一个简单的代数方法。在1759年，他似乎满足地认为已找到这个方法，因为在那一年，他写信给Euler说，他相信已研究出力学和微分学原理尽可能深的真正理论基础。不过，特别要指出，Lagrange的工作纯粹是形式的，他用符号表达式来进行计算，不涉及极限、连续等根本性的概念。

在十八世纪行将结束的时候，1797年出现了Lazare Carnot所写的《关于无限小微积分的哲学思想》，这可能是解决困难的一次最著名的尝试。鉴于当时流行的有关微积分学的论文缺乏明确性和统一性，Carnot想搞出一套严格精确的理论。考虑到这一学科许多矛盾的理解，Carnot的目的是澄清“无限小分析真正的精神是什么。”在选择统一的原理时，却做出了一个遗憾的选择。他总结说，“无限小分析的真正的哲学原理…仍然是…误差补偿原理。”在阐述这一观点时，他实质上返回到Leibniz表达过的思想上去。他主张要肯定两个指定量严格相等，只要证明它们的差不能是一个“指定量”就够了。Carnot进一步注释Leibniz的观点说：我们可以把任意一个量换成另一个与它相差无限小的量；无限小的方法只不过是把穷竭法简化为一种计算方法；“无法感觉的量”只起辅助作用，引入它只是为了计算的方便，在得到最后结果以后就可以消除它。

Carnot甚至用连续性定律（principle de continuite）来重复Leibniz所偏爱的解释。他说，可以有两种观点来理解无限小分析，看你是把无限小当作“有效量”，还是当作“绝对的零”。在第一种情况中，Carnot认为微分学可以用误差补偿作为基础来解释：“不完美方程”通过消除一些称为误差的量这一简便的手段，就变成“完美精确”的了；在第二种情况，Carnot认为微分学是相互比较消失量的一种“艺术”，从这些比较中寻找出那些给出量之间的关系。对于消失量既是零又不是零这种反对意见，Carnot回答说，“所谓无限小量并不是任意的零，而是为决定关系的那个连续性定律所给出的零。”虽然Carnot的著作受到了普遍的欢迎，直到1921年还在法国出版，并译成了好几种文字，但很难评价它是否正确引导了人们对分析学所包含的困难有较清楚的理解。

Carnot是一个著名的军人、行政人员，并受到法国议会授予的“胜利的组织者”（Organizer of Victory）的称号。作为一个强调数学的价值是与科学应用关系的数学家，分析学在他的思想中是方程而不是函数概念，尽管从他的书名看是偏重于理论，但书中对运算法则在应用上的方便，比所涉及的逻辑推理更加受到注意。

十八世纪的几乎每一个数学家都对微积分的逻辑基础作了一些努力，虽然一二个路子对头，但所有的努力都没有结果。在缺乏基础的情况下，怎么对各种函数进行分析演算呢？那就是：在他们的心里依靠物理和直观，在他们的手中有着简单的代数函数——从简单而具体的函数中发现性质，然后推广到所有的函数上去。他们施展了高超的技巧，发掘并增进了微积分的威力，大刀阔斧的拓展新的领地：无穷级数、微分方程、微分几何和变分法，从而建立起数学中最广阔的领域——数学分析。

十八世纪的数学家们完全陶醉于自己取得的伟大成就，对于失去的严密性大都无动于衷。正是因为十八世纪的数学家们在没有逻辑支持的情况下，仍如此勇敢地冲杀向前，所以这段时期被称为数学的“英雄年代（the heroic age）”。

分析中注入严密性

1826年2月12日，Lobatchevshy在喀山大学宣读了他的论文《论几何原理》，这一天被认为是非欧几何诞生的日子。数学的观念注定要在十九世纪发生根本的改变。也许是历史的巧合，Abel在1826年给友人的信中表露出对分析的忧虑：

“人们在分析中确实发现了惊人的含糊不清之处。这样一个完全没有计划和体系的分析，竟有那么多人能研究它，真是奇迹。最坏的是，从来没有严格对待过分析。在高等分析中只有很少几个定理是用逻辑上站得住脚的方式证明的。人们到处发现这种从特殊到一般的不可靠的推理方法，而非常奇怪的是这种方法只导致了极少几个所谓的悖论。”

真正在分析中注入严密性的工作是从Bolzano、Cauchy、Abel和Dirichlet的工作开始，而由Weierstrass进一步发展了的。

Bolzano是波希米亚的教士和哲学家。1799年Gauss曾从几何方面考虑，给出了代数基本定理——每一个有理的整数次方程必有一根——的一个证明。而Bolzano想要有一个单从算术、代数与分析推导出来的证明。正如Largrange认为没有必要将时间与运动引入数学一样，Bolzano在他的证明中力求避免涉及空间直观。这样，首先就需要有一个合适的连续性定义。

实际上，当Pythagoras学派以数去代替几何量时，所遇到的就是连续性的困难；Newton试图借助连续运动的直观来避免这个困难，Leibniz则用他的连续性公设来绕过这个问题。如今，分析学又把数学家们领回到了历史的起点。使得数学史家们困惑不解的是这一历史性的突破，为什么会发生在远离欧洲数学中心的布拉格！Bolzano第一次明确指出连续观念的基础存在于极限概念之中：函数f（x）如果对于一个区间内的任一值x，和无论是正或负的充分小的Δx，差f（x+Δx）-f（x）始终小于任一给定的量时，Bolzano定义这个函数在这个区间内为连续。这个定义和稍后Cauchy的定义没有什么主要的差别。1843年，Bolzano给出了一个不可微分的连续函数的例子——这个例子在数学中作用，好比判决性实验（crucial experiment）在科学中一样，澄清了几个世纪以来由几何或物理的直观所造成的印象，表明连续函数未必有导数！然而，由于Bolzano的工作大部分湮没无闻，他的这些观点对当时的微积分并未产生决定性的影响。关于连续函数不可微分的问题，也要等到三分之一世纪以后，由Weierstrass的著名的例子才再次引起人们的关注。

也许Weierstrass的例子没有早出现反到是微积分发展史上的幸事，正如Emile Picard在1905年所说的那样：“如果Newton和Leibniz知道了连续函数不一定可导，微分学将无以产生。”的确，严谨的思想有时也可以阻碍创造。

在关于微积分基础的混沌一片的争议中，Cauchy看出核心问题是极限。Cauchy的极限概念是基于算术的考虑的，但他在定义中“一个变量无限趋于一个极限”的说法，受到Weierstrass的批评“这种说法不幸的使人们想起时间和运动”。为了消除Bolzano和Cauchy在定义函数连续性和极限中用到的描述性的语言“变为而且保持小于任意给定的量”的不确定性，Weierstrass给出了著名的“ε-N（ε-δ）”定义。“ε-N（ε-δ）”定义第一次使极限和连续性摆脱了与几何和运动的任何牵连，给出了只建立在数与函数概念上的清晰的定义，从而使一个模糊不清的动态描述，变成为一个严密叙述的静态观念，这不能不认为是变量数学史上的一次重大创新。今天“ε-N（ε-δ）”语言的精髓已经深入到现代数学的每一根血管，牵动着每一根神经。正因如此，Hilbert认为：“Weierstrass以其酷爱批判的精神和深邃的洞察力，为数学分析建立了坚实的基础。通过澄清极小、极大、函数、导数等概念，他排除了在微积分中仍在出现的各种错误提法，扫清了关于无穷大、无穷小等各种混乱观念，决定性地克服了源于无穷大、无穷小朦胧思想的困难。······今天，分析学能达到这样和谐可靠和完美的程度······本质上应归功于Weierstrass的科学活动”。

在极限有了严格的定义后，无穷小作为极限为0的变量，被归入到函数的范畴，再也不是混在Archimedes数域里的一个桀骜不驯的冥灵了。

在极限、无穷小和函数的连续性等概念得到澄清后，分析中一些重要的性质陆续登场。Weierstrass在1860年应用Bolzano的“最小上界原理”证明了“聚点原则”，在柏林的讲义中，Weierstrass证明了闭区间上连续函数的最值定理。1870年，Heine定义了一致连续性，而后证明有界闭区间上连续函数一致连续。在Heine的证明中，他利用了“有限覆盖”性质，这一性质后为Emile Borel叙述为一个独立的定理（1895）。“区间套”的性质要到1892年才为Bachmann所认识。连续性与可微性、连续性与可积性、无穷级数的收敛性也都得到了深入的研究。

分析算术化

Bolzano，Cauchy，Weiestrass和其他人的工作给分析提供了严密性。这些工作把微积分及其推广从对几何概念、运动和直觉了解的完全依赖中解放出来。这些研究一开始就造成了巨大的轰动。据说，在巴黎科学院的一次科学会议上，Cauchy提出级数收敛性的理论，会后，Laplace急忙赶回家里避不见人，检查他在《天体力学》中所用到的级数，幸而书中用到的每一个级数都是收敛的。

分析的严密化促进了这样的认识：对于数系缺乏清晰的理解这件事本身非补救不可。例如Bolzano关于闭区间连续函数的“零点定理”的证明，一个关键的错误就是因为对实数系缺乏足够的理解；对于极限的深入研究，也需要理解实数系。Cauchy不能证明他自己关于序列收敛准则的充分性，也是由于他对实数系的结构缺乏深入的理解。Weierstrass指出，为了要细致地建立连续函数的性质，需要算术连续统的理论——这正是分析算术化的根本基础。

1872年，是近代数学史上最值得纪念的一年。这一年，F.Kline提出了著名的“埃尔朗根纲领”（Erlanger Programm），Weierstrass给出了处处连续但处处不可微函数的著名例子。也正是在这一年，实数的三大派理论：Dedekind“分割”理论；Cantor、Henie、Meray的“基本序列”理论，以及Weierstrass的“有界单调序列”理论，同时在德国出现了。

努力建立实数的目的是为了给出一个形式化的逻辑定义，它既不依赖几何的含义，又避免用极限来定义无理数的逻辑错误。有了这些定义做基础，微积分中关于极限的基本定理的推导，才不会有理论上的循环。导数和积分从而可以直接在这些定义上建立起来，免去任何与感性认识联系的性质。几何概念是不能给出充分明白和精确的，这在微积分发展的漫长岁月的过程中已经被证明。因此，必要的严格性只有通过数的概念，并且在割断数的概念与几何量观念的联系之后才能完全达到。这里，Dedekind的工作受到了崇高的评价，这是因为，由“Dedekind分割”定义的实数，是完全不依赖于空间与时间直观的人类智慧的创造物。

1858年，Dedekind在讲授微积分的时候就表示出要寻求使分析严格化途径的愿望，他说：“…决不能认为以这种方式引入微分学是科学的。这一点已经得到公认。至于我本人，也无法克制这种不满意的感觉而下定决心研究这个问题，直到建立为无穷小分析原理建立纯粹算术的和完全严格的基础为止。”Dedekind不去考虑如何定义无理数，才能避免Cauchy的恶性循环，而是考虑如果算术方法明显失败，在连续几何量中，究竟存在什么使它解决了这个困难：即连续性的本质是什么？沿着这个方向去思索，Dedekind了解到一条直线的连续性，不能用模糊的聚在一起来说明，而只能作为将直线用点来划分的性质。他看出将直线上的点分成两类，使一类中的每点都在另一类中每点的左边，则存在一点而只有一点，产生这个划分（cut）。这对有序的有理数系是不成立的。这就是为什么直线上的点构成一个连续统（continuum），而有理数则不可能。正如Dedekind所说，“由这样的平凡之见，暴露了连续性的秘密。”

实数的三大派理论本质上是对无理数给出严格定义，从而建立了完备的实数域。实数域的构造成功，使得两千多年来存在于算术与几何之间的鸿沟得以完全填平，无理数不再是“无理的数”了，古希腊人的算术连续统的设想，也终于在严格的科学意义下得以实现。

接下来的目标是给出有理数的定义与性质。Ohm、Weierstrass、Kronecker、Peano在这方面做出了杰出的工作。在1859年前后，Weierstrass等人就认识到：只要承认了自然数，建立实数就不再需要进一步的公理了。因此建立实数理论的关键是有理数系，而建立有理数系的核心，就在于构造普通整数的基础并确立整数的性质。1872-78年间，Dedekind给出了一个整数理论。

1889年，Peano最先利用公理化的方法，用一组公理引进了整数，从而建立了完备的自然数理论。Peano创设的符号，如“∈”表示属于，“”表示包含，N0表示自然数类，a+表示后继于a的下一个自然数，影响深远。可谁能相信正是因为他在课堂上也使用这些符号，因而学生们造了反，他试着用全部及格的办法去满足他们，但没有起作用。因而他被迫辞去在Turin大学的教授职位。

Kronecker说：“上帝创造了整数，其它一切都是人造的”（God made the integers、all the rest is the work of man）。但是，在分析算术化的进程中，整数并没有因为是上帝的宠儿而得到它的豁免权。

寻求统一是数学发展的重要动力。回溯“分析算术化”的整个历程，我们发现在起跑处人们并不知道终点在那里，也更不知道路该怎么走。从Pythagrass学派关于不可公度量的发现，到Zeno悖论引发的对无限概念的关切，从而孕育了导致微积分的各种研究。当Dedekind、Cantor、Weierstrass等人把无理数建立在有理数的基础上，而最后由Peano给出自然数的逻辑公理，终于完成了有理数论，因此实数系的基础问题最终宣告完备。微积分学的基本概念——连续变量的极限：导数和积分，在逻辑上的严密性，在形式上的严谨性，有如Euclid几何学一般的令人赞叹！中国的先哲们有句古话：九九归一！如果我们把这里的“一”理解为自然数之首的“1”，那么，关于微积分学的历史发展，Pythagoras的名言是惊人的贴切：万物皆数！（All is number.）

1900年，在巴黎举行的第二届国际数学大会上，Poincare不无自豪的赞叹到：　“今天在分析中，如果我们不厌其烦地严格的话，就会发现只有三段论或归结于纯数的直觉是不可能欺骗我们的。今天我们可以宣称绝对的严密已经实现了。”