更新时间：2023-12-08 09:09
《缉古算经》 ，中国古代数学著作之一，王孝通撰。他是唐代初期数学家。根据《旧唐书》、《新唐书》以及《唐会要》的记载，王孝通出身于平民，唐高祖武德年间（公元623年前后）担任算学博士，奉命与吏部郎中祖孝孙校勘傅仁钧制订的《戊寅历》，提出异议30余条，被提升为太史丞。王孝通把毕生的精力都用在数学的研究方面。称得上是这一时期最伟大的数学家。他的最大贡献是在总结前人研究的基础上，写作了《缉古算术》。王孝通撰《缉古算经》唐武德八年（625）五月，王孝通撰《缉古算经》在长安成书，这是中国现存最早解三次方程的著作。
唐代立于学官的十部算经中，王孝通《缉古算经》是唯一的一部由唐代学者撰写的。王孝通主要活动于六世纪末和七世纪初。他出身于平民，少年时期便开始潜心钻研数学，隋朝时以历算入仕，入唐后被留用，唐朝初年做过算学博士（亦称算历博士），后升任通直郎、太史丞。毕生从事数学和天文工作。
唐武德六年（623），因行用的傅仁均《戊寅元历》推算日月食与实际天象不合，与吏部郎中祖孝孙受命研究傅仁均历存在的问题，武德九年（626）又与大理卿崔善为奉诏校勘傅仁均历，驳正术错三十余处，并付太史施行。
第一题为推求月球赤纬度数，属于天文历法方面的计算问题，第二题至十四题是修造观象台、修筑堤坝、开挖沟渠，以及建造仓廪和地窖等土木工程和水利工程的施工计算问题，第十五至二十题是勾股问题。这些问题反映了当时开凿运河、修筑长城和大规模城市建设等土木和水利工程施工计算的实际需要。
王孝通在《上缉古算经表》中说：伏寻《九章》商功篇有平地役功受袤之术。至于上宽下狭，前高后卑，正经之内阙而不论。致使今代之人不达深理，就平正之间同欹邪之用。斯乃圆孔方枘，如何可安。臣昼思夜想，临书浩叹，恐一旦瞑目，将来莫睹。遂于平地之余，续狭邪之法，凡二十术，名曰《缉古》这段话清楚地说明了他写作本书的目的和研究成果。
《缉古算经》涉及到立体体积计算、勾股计算、建立和求解三次方程x3+ax2+bx=A（a、b和A，非负），建立和求解双二次方程x4+ax2=A（a、A，为正，这是一种特殊形式的四次方程）等数学内容。这类问题与解法大多相当复杂，就当时数学水平而言是相当困难的，因此，在国子监算学馆要学习三年，学习年限仅次于祖氏父子的《缀术》。
例如该书第三题，假如从甲、乙、丙、丁四县征派民工修筑河堤，这段河堤的横截面是等腰梯形，已知两端上下底之差，两端高度差，一端上底与高度差，一端高度与堤长之差，且已知各县出工人数，每人每日平均取土量、隔山渡水取土距离、负重运输效率和筑堤土方量，以及完工时间等，求每人每日可完成的土方量，整段河堤的土方量（即河堤体积）和这段河堤的长度、两端高度、两端上下底宽度，以及各县完成的堤段长度等。前两个问题是比较简单的算术问题，后两个问题则要经过较复杂的推导和几何变换归结为建立和求解形如x3+ax2+bx=A的三次方程。
在《缉古算经》第十五题至二十题等属于勾股算术的问题中，王孝通还创造性地把勾股问题引向三次方程，并与代数方法结合起来，扩大了勾股算术的范围，发展了勾股问题的解题方法。
在中国数学史上，《缉古算经》是中国现存最早介绍开带从立方法的算书，它集中体现了中国古代数学家早在公元七世纪在建立和求解三次方程等方面所取得的重要成就。在西方，虽然很早就已知道三次方程，但最初解三次方程是利用圆锥曲线的图解法，一直到十三世纪意大利数学家菲波那契才有了三次方程的数值解法，这比王孝通晚了六百多年。王孝通对自己的研究成果十分得意。他在《上缉古算经表》中批评时人称之精妙的《缀术》曾不觉方邑进行之术全错不通，刍甍宋元数学家创立了天元术、四元术和高次方程数值解法等，取得了更加辉煌的成就
假今天正十一月朔夜半，日在斗十度七百分度之四百八十。以章岁为母，朔月行定分九千，朔日定小余一万，日法二万，章岁七百，亦名行分法。今不取加时日度。问：天正朔夜半之时月在何处？（推朔夜半月度，旧术要须加时日度。自古先儒虽复修撰改制，意见甚众，并未得算妙，有理不尽，考校尤难。臣每日夜思量，常以此理屈滞，恐后代无人知者。今奉敕造历，因即改制，为此新术。旧推日度之术，巳得朔夜半日度，仍须更求加时日度，然知月处。臣今作新术，但得朔夜半日度，不须加时日度，即知月处。此新术比于旧术，一年之中十二倍省功，使学者易知）
答曰：在斗四度七百分度之五百三十。
《缉古算经》全书共二十问，书首为《上缉古算术表》。各问题的形式大致相同，每问以“假令”开头，以“问：……各几何？”或“问：……个多少？”结尾；随后是答案：“答曰……”；最后一段是“术曰”，详细叙述建立方程的理论依据和具体程序。每题都有答案，但关于解题方法，王孝通则言简意赅。
“假今天正十一月朔夜半，日在斗十度七百分度之四百八十。以章岁为母，朔月行定分九千，朔日定小余一万，日法二万，章岁七百，亦名行分法。今不取加时日度。问：天正朔夜半之时月在何处？”。这是一道天文题，求半夜时月亮的赤道经度，王孝通用算术解题。
假令太史造仰观台，上广袤少，下广袤多。上下广差二丈，上下袤差四丈，上广袤差三丈，高多上广一十一丈，甲县差一千四百一十八人，乙县差三千二百二十二人，夏程人功常积七十五尺，限五日役台毕。羡道从台南面起，上广多下广一丈二尺，少袤一百四尺，高多袤四丈。甲县一十三乡，乙县四十三乡，每乡别均赋常积六千三百尺，限一日役羡道毕。二县差到人共造仰观台，二县乡人共造羡道，皆从先给甲县，以次与乙县。台自下基给高，道自初登给袤。问：台道广、高、袤及县别给高、广、袤各几何？”。
对于这个建造观象台和台道的广度、高度、深度的计算，王孝通列出三个
形式的三次方程式，和一个形式的三次方程式
“假令筑堤，西头上、下广差六丈八尺二寸，东头上、下广差六尺二寸。东头高少於西头高三丈一尺，上广多东头高四尺九寸，正袤多於东头高四百七十六尺九寸。甲县六千七百二十四人，乙县一万六千六百七十七人，丙县一万九千四百四十八人，丁县一万二千七百八十一人。四县每人一日穿土九石九斗二升。每人一日筑常积一十一尺四寸十三分寸之六。穿方一尺得土八斗。古人负土二斗四升八合，平道行一百九十二步，一日六十二到。今隔山渡水取土，其平道只有一十一步，山斜高三十步，水宽一十二步，上山三当四，下山六当五，水行一当二，平道踟躕十加一，载输一十四步。减计一人作功为均积。四县共造，一日役华。今从东头与甲，其次与乙、丙、丁。问：给斜、正袤与高，及下广，并每人一日自穿、运、筑程功，及堤上、下高、广各几何？
第一个三次方程：
第二个三次方程：
王孝通求得其解：31
“假令筑龙尾堤，其堤从头高、上阔以次低狭至尾。上广多，下广少，堤头上下广差六尺，下广少高一丈二尺，少袤四丈八尺。甲县二千三百七十五人，乙县二千三百七十八人，丙县五千二百四十七人。各人程功常积一尺九寸八分，一日役毕，三县共筑。今从堤尾与甲县，以次与乙、丙。问：龙尾堤从头至尾高、袤、广及各县别给高、袤、广各多少。”
；解之得 x=18尺；
“假令穿河，袤一裏二百七十六步，下广六步一尺二寸；北头深一丈八尺六寸，上广十二步二尺四寸；南头深二百四十一尺八寸；上广八十六步四尺八寸。运土於河西岸造漘，北头高二百二十三尺二寸，南头无高，下广四百六尺七寸五厘，袤与河同。甲郡二万二千三百二十人，乙郡六万八千七十六人，丙郡五万九千九百八十五人，丁郡三万七千九百四十四人。自穿、负、筑，各人程功常积三尺七寸二分。限九十六日役，河漘俱了。四郡分共造漘，其河自北头先给甲郡，以次与乙，合均赋积尺。问：逐郡各给斜、正袤，上广及深，并漘上广各多少？”
解二次方程，三次方程各一。
三次方程： 得 方仓上底边 x=3尺，下底边=9尺，高=12尺。
“假令四郡输粟，斛法二尺五寸，一人作功为均。自上给甲，以次与乙。其甲郡输粟三万八千七百四十五石六斗，乙郡输粟三万四千九百五石六斗，丙郡输粟，二万六千二百七十石四斗，丁郡输粟一万四千七十八石四斗。四郡共穿窖，上袤多於上广一丈，少於下袤三丈，多於深六丈，少於下广一丈。各计粟多少，均出丁夫。自穿、负、筑，冬程人功常积一十二尺，一日役。问：窖上下广、袤、深，郡别出人及窖深、广各多少？”
解两个三次方程。
“假令亭仓上小下大，上下方差六尺，高多上方九尺，容粟一百八十七石二斗。今已运出五十石四斗。问：仓上下方、高及余粟深、上方各多少？”
第八问
“假令刍甍上袤三丈，下袤九丈，广六丈，高一十二丈。有甲县六百三十二人，乙县二百四十三人。夏程人功当积三十六尺，限八日役。自穿筑，二县共造。今甲县先到。问：自下给高、广、袤、各多少？”是关于建筑观象台、河堤、粮窖等工程中的土方问题。
解一个三次方程：
得 乙县工程 高 x=72尺; 甲县工程高=120-72=48尺、上广=36尺 、袤=66尺。
“假令圆囤上小下大，斛法二尺五寸，以率径一周三。上下周差一丈二尺，高多上周一丈八尺，容粟七百五斛六斗。今已运出二百六十六石四斗。问：残粟去口、上下周、高各多少？”
解两个三次方程。
“假令有粟二万三千一百二十斛七斗三升，欲作方仓一，圆窖一，盛各满中而粟适尽。令高、深等，使方面少於圆径九寸，多於高二丈九尺八寸，率径七，周二十二。问：方、径、深多少？”
解一个三次方程。
“假令有粟一万六千三百四十八石八斗，欲作方仓四、圆窖三，令高、深等，方面少於圆径一丈，多於高五尺，斛法二尺五寸，率径七，周二十二。问：方、高、径多少？”
解一个三次方程。
“假令有粟三千七十二石，欲作方仓一、圆窖一，令径与方等，方於窖深二尺，少於仓高三尺，盛各满中而粟适尽（圆率、斛法并与前同）。问：方、径、高、深各多少？”
解一个三次方程。
“假令有粟五千一百四十石，欲作方窖、圆窖各一，令口小底大，方面於圆径等，两深亦同，其深少於下方七尺，多於上方一丈四尺，盛各满中而粟适尽（圆率、斛法并与前同）。问：方、径、深各多少？”
解一个三次方程。
“假令有粟二万六千三百四十二石四斗，欲作方窖六、圆窖四，令口小底大，方面与圆径等，其深亦同，令深少於下方七尺，多於上方一丈四尺，盛各满中而粟适尽（圆率、斛法并与前同）。问上下方、深数各多少？”
解一个三次方程。
“假令有句股相乘幂七百六十五分之一，弦多於句三十六十分之九。问：三事各多少？”
解一个三次方程： 。
“假令相乘幂四千七百三十九五分之三，句少於弦五十四五分之二。问：股多少？”
解一个三次方程。
“假令有句弦相乘幂一千三百三十七二十分之一，弦多股一、十分之一。问：股多少？”
解一个三次方程。“答曰：九十二五分之二。”
“术曰：幂自乘，倍多而一，为立幂。又多再自乘，半之，减立幂，余为实。又多数自乘，倍之，为方法。又置多数，五之，二而一，为廉法，从。开立方除之，即股（句弦相乘幂自乘，即句幂乘弦幂之积。故以倍股弦差而一，得一股与半差为方，令多再自乘半之为隅，横虚二立廉……倍之为从隅……多为上广即二多……法故五之二而一）。”
王孝通所述，相当于建立一个三次方程：
“假令有股弦相乘幂四千七百三十九五分之三，句少於弦五十四五分之二。问：股多少？”
解一个三次方程。
“假令有股弦相乘幂七百二十六，句七、十分之七。问：股多少？”
解一个双二次方程。
“假令有股十六二分之一，句弦相乘幂一百六十四二十五分之十四。问：句多少？”
解一个双二次方程：
。
《缉古算经》在唐代就有抄本，宋元丰七年（1084年）有秘书监赵彦若等校定刊本，但到明代，刊本几乎遗失，仅存章丘李开先所藏一部南宋刊本。清代毛晋获得《缉古算经》，影抄传世。《缉古算经》影抄本后归常熟毛扆汲古阁收藏；清乾隆年间孔继涵得毛扆汲古阁所藏宋元丰七年《缉古算经》影抄本和其他算书六种，连同戴东原从永乐大典中编辑出的《海岛算经》等书合为十部，一同刻印刊行；孔继涵所刻《缉古算经》，世称为微波谢本。同时《四库全书》又收入吏部侍郎王杰所藏《缉古算经》的毛晋影抄本。微波谢本后佚，影抄本现存北京故宫博物院。
清代中期，研究《缉古算经》之风盛行，先后有李潢《缉古算经考注》二卷，张敦仁《缉古算经细草》一卷，陈杰《缉古算经细草》一卷，《缉古算经注》二卷，《缉古算经音义》一卷，及按微波谢本抄录的《缉古算经经文》一卷；揭廷锵《缉古算经考注图草》一卷。
1963年中华书局出版钱宝琮校点多《算经十书》，其中包括《缉古算经》
1998你 郭书春 校点 《缉古算经》 《算经十书》 卷2 辽宁教育出版社