设T是平面π的一个变换，F是平面上的一个图形（即平面的一个子集），令

F'=T(F)={T(A)|A属于F}.

那么，图形F'称为图形F在变换T下的像,T是一个几何变换。

如果平面上一个点A满足T(A)=A，那么A称为T的不动点；如果图形F满足T(F)=F，那么F是T的不变图形。

如果对于平面上任意两点A,B与其象点T(A),T(B)，总有AB=T(A)T(B)，那么称T为合同变换。

如果存在一个常数k，使AB=T(A)T(B)/k,那么称T为相似变换，k为相似系数或相似比。

保持角的方向不变的相似变换为真正相似变换，角的方向相反的为镜像相似变换。

两图形真正相似也称顺相似或同向相似，镜像相似也称逆相似。

内容提要：翻折变换是平面到自身的变换，若存在一条直线l，使对于平面上的每一点P及其对应点P′，其连线PP′都被定直线l垂直平分，则称这种变换为翻折变换，定直线l称为对称轴。翻折变换有如下性质：

(1)把图形变为与之全等的图形；

(2)关于l对称的两点连线被l垂直平分。

证题过程中使用翻折变换，可保留原有图形的性质，且使原来分散条件相对集中，以利于问题的解决。

定义：设v是平面π上的一个固定向量，如果平面π的一个变换，使得对于平面π上的任意一定A与其像点A'之间，恒有AA'=v，则这个变换称为平面π的一个平移变换。记作T(v)。

内容提要： 旋转变换是平面到它自身的变换，使原点O变换到它自身，其他任何点X变到X′，使得：(1)OX′=OX；(2)∠XOX′=θ(定角)。则称这样的变换为旋转变换，O称为旋转中心。旋转变换保持图形全等，但图形方位可能有变化。在几何解题中，旋转的作用是使原有图形的性质得以保持，但改变其位置，使能组合成新的有利论证的图形。

一、 平移变换

1．　 定义 设是一条给定的有向线段，T是平面上的一个变换，它把平面图形F上任一点X变到X‘，使得=，则T叫做沿有向线段的平移变换。记为XX’，图形FF‘ 。

2．　 主要性质 在平移变换下，对应线段平行且相等，直线变为直线，三角形变为三角形，圆变为圆。两对应点连线段与给定的有向线段平行（共线）且相等。

二、 轴对称变换

1．　 定义 设l是一条给定的直线，S是平面上的一个变换，它把平面图形F上任一点X变到X’，使得X与X‘关于直线l对称，则S叫做以l为对称轴的轴对称变换。记为XX’，图形FF‘ 。

2．　 主要性质 在轴对称变换下，对应线段相等，对应直线（段）或者平行，或者交于对称轴，且这两条直线的夹角被对称轴平分。

三、 旋转变换

1．　 定义 设α是一个定角，O是一个定点，R是平面上的一个变换，它把点O仍变到O（不动点），而把平面图形F上任一点X变到X’，使得OX‘=OX，且∠XOX’=α，则R叫做绕中心O，旋转角为α的旋转变换。记为XX‘，图形FF’ 。

其中α<0时，表示∠XOX‘的始边OX到终边OX’的旋转方向为顺时针方向；α>0时，为逆时针方向。

2． 主要性质 在旋转变换下，对应线段相等，对应直线的夹角等于旋转角。

四、 位似变换

1．　 定义 设O是一个定点，H是平面上的一个变换，它把平面图形F上任一点X变到X‘，使得 =k·，则H叫做以O为位似中心，k为位似比的位似变换。记为XX’，图形FF‘ 。

其中k>0时，X’在射线OX上，此时的位似变换叫做外位似；k<0时, X‘在射线OX的反向延长线上，此时的位似变换叫做内位似。

2．　 主要性质 在位似变换下，一对位似对应点与位似中心共线；一条线上的点变到一条线上，且保持顺序，即共线点变为共线点，共点线变为共点线；对应线段的比等于位似比的绝对值，对应图形面积的比等于位似比的平方；不经过位似中心的对应线段平行，即一直线变为与它平行的直线；任何两条直线的平行、相交位置关系保持不变；圆变为圆，且两圆心为对应点；两对应圆相切时切点为位似中心。

【例1】P是平行四边形ABCD内一点，且∠PAB=∠PCB。

求证：∠PBA=∠PDA。

【分析】作变换△ABP△DCP’，

则△ABP≌△DCP‘，∠1=∠5，∠3=∠6。由PP’ADBC，ADPP‘、PP’CB都是平行四边形，知∠2=∠8，∠4=∠7。由已知∠1=∠2，得∠5=∠8。

∴P、D、P‘、C四点共圆。故∠6=∠7，即∠3=∠4。

【例2】“风平三角形”中，AA’=BB‘=CC’=2，∠AOB‘=∠BOC’=60°。

求证：S△AOB‘+S△BOC’+S△COA‘

【分析】作变换△A’OC△AQR‘，△BOC’△B‘PR’‘，则R’、R‘’重合，记为R。P、R、Q共线，O、A、Q共线，O、B‘、P共线，△OPQ为等边三角形。

∴S△AOB’+S△BOC‘+S△COA’

【例3】在两条对角线长度以及夹角一定的所有凸四边形中，试求周长最小的四边形。

【分析】取AC、BD的中点E、F，令ACA‘C’，则A‘BC’D是一个符合条件的平行四边形。延长AF、CC‘交于G。

∵E是AC的中点且EF∥CC’，FC‘∥EC，∴F、C’分别为AG、CG的中点。

∴AD+BC=BG+BC≥2BC‘=A’D+BC‘。

同理可得AB+DC≥A’B+DC‘。

故当四边形为平行四边形时，周长最小。

【评注】当已知条件分散，尤其是相等的条件分散，而又不容易找出证明途径，或题目中有平行条件时，将图形的某一部分施行平移变换，常常十分凑效。

【例4】P是⊙O的弦AB的中点，过P点引⊙O的两弦CD、EF，连结DE交AB于M，连结CF交AB于N。求证：MP=NP。（蝴蝶定理）

【分析】设GH为过P的直径，FF’F，显然‘∈⊙O。又P∈GH，∴PF’=PF。∵PFPF‘，PAPB，∴∠FPN=∠F’PM，PF=PF‘。

又FF’⊥GH，AN⊥GH，∴FF‘∥AB。∴∠F’PM+∠MDF‘=∠FPN+∠EDF’

=∠EFF‘+∠EDF’=180°，∴P、M、D、F‘四点共圆。∴∠PF’M=∠PDE=∠PFN。

∴△PFN≌△PF‘M，PN=PM。

【评注】一般结论为：已知半径为R的⊙O内一弦AB上的一点P，过P作两条相交弦CD、EF，连CF、ED交AB于M、N，已知OP=r，P到AB中点的距离为a，则。（解析法证明：利用二次曲线系知识）

【例5】⊙O是给定锐角∠ACB内一个定圆，试在⊙O及射线CA、CB上各求一点P、Q、R，使得△PQR的周长为最小。

【分析】在圆O上任取一点P0，令P0P1，P0P2，连结P1P2分别交CA、CB于Q1、R1。显然△P0Q1R1是在取定P0的情况下周长最小的三角形。

设P0P1交CA于E，P0P2交CB于F，则P0Q1 +Q1R1 +R1P0= P1P2=2EF。

∵E、C、F、P0四点共圆，CP0是该圆直径，由正弦定理，EF=CP0sin∠ECF。

∴当CP0取最小值时，EF为最小，从而△P0Q1R1的周长为最小，于是有作法：

连结OC，交圆周于P，令PP1，PP2，连结P1P2分别交CA、CB于Q、R。则P、Q、R为所求。

【例6】△ABC中，∠A≥90°，AD⊥BC于D，△PQR是它的任一内接三角形。求证：PQ+QR+RP>2AD。

【分析】设PP’，PP‘’。则RP=RP‘，PQ=P’‘Q，AP=AP’=AP‘’。

∴PQ+QR+RP= P‘’Q+QR+RP‘。

又∠A≥90°，∴∠P’AP+∠P‘’AP=2∠A≥180°，A点在线段P‘P’‘上或在凸四边形P’RQP‘’的内部。∴P‘’Q+QR+RP‘>AP’+AP‘’=2AP>2AD。

∴PQ+QR+RP>2AD。

【评注】如果题设中有角平分线、垂线，或图形是等腰三角形、圆等轴对称图形，可以将图形或其部分进行轴对称变换。此外，也可以适当选择对称轴将一些线段的位置变更，以便于比较它们之间的大小。

【例7】以△ABC的边AB、AC为斜边分别向外作等腰直角三角形APB、AQC，M是BC的中点。求证：MP=MQ，MP⊥MQ。

【分析】延长BP到E，使PE=BP，延长CQ到F， 使QF=CQ，则△BAE、△CAF都是等腰三角形。

显然：EB，CF，∴EC=BF，EC⊥BF。

而PMEC，MQBF，∴MP=MQ，MP⊥MQ。

【例8】已知O是△ABC内一点，∠AOB=∠BOC=∠COA=120°；P是△ABC内任一点，求证：PA+PB+PC≥OA+OB+OC。（O为费马点）

【分析】将CC‘，OO’， PP‘，连结OO’、PP‘。则△B OO’、△B PP‘都是正三角形。

∴OO’=OB，PP‘ =PB。显然△BO’C‘≌△BOC，△BP’C‘≌△BPC。

由于∠BO’C‘=∠BOC=120°=180°-∠BO’O，∴A、O、O‘、C’四点共线。

∴AP+PP‘+P’C‘≥AC’=AO+OO‘+O’C‘，即PA+PB+PC≥OA+OB+OC。

【例9】⊙O与△ABC的三边BC、CA、AB分别交于点A1、A2、B1、B2、C1、C2，过上述六点分别作所在边的垂线a1、a2、b1、b2、，设a1、b2、c1三线相交于一点D。求证：a2、b1、c2三线也相交于一点。

【分析】∵a1、a2关于圆心O成中心对称，

∴a1a2。

同理，b1b2，c1c2。

∴a1、b2、c1的公共点D在变换R（O，180°）下的像D’也是像a2、b1、c2的公共点，即a2、b1、c2三线也相交于一点。

【例10】AD是△ABC的外接圆O的直径，过D作⊙O的切线交BC于P，连结并延长PO分别交AB、AC于M、N。求证：OM=ON。

【分析】过B作MN的平行线，分别交AD、AC于O'、N'

∵M、O、N三点共线，∴B、O‘、N’三点共线，且O’B:OM=O’N’:ON

取BC中点G，连结OG、O‘G、DG、DB。

∵∠OGP=∠ODP=90°，∴P、D、G、O四点共圆。

∴∠ODG=∠OPG，而由MN∥BN’有∠OPG=∠O‘BG，

∴∠ODG=∠O’BG，∴O‘、B、D、G四点共圆。

∴∠O’GB=∠O‘DB。而∠O’DB=∠ACB，∴∠O‘GB=∠ACB，O’G∥AC，

而G是BC的中点，∴O‘是BN’的中点，O‘B= O’ N‘，

∴OM=ON