更新时间：2022-03-31 21:10
在概率论中，重对数律(LIL)用来描述一个随机游走的振幅。其最早为Aleksandr Y. Khinchin在1924年所叙述；之后Andrey N. Kolmogorov在1929年给出了另一个叙述。由于定理中出现了二重对数，故名。
令是一列独立同分布的随机变量，其期望为0，方差为1；且记，那么：
其中“log”是自然对数，“lim sup”是上极限，“a.s.”是“几乎必然”。
重对数律在大数定律与中心极限定理之间运行。 大数定律有两种描述 - 弱者和强者，它们都声明，以n-1为标准的总和Sn收敛到零，几乎可以肯定地：
另一方面，中心极限定理表示以因子n-½缩放的总和Sn在分布中收敛到标准正态分布。 通过Kolmogorov的零一定律，对于任何固定的M，事件发生是0或1，然后
因此：
一个相同的论证显示
这意味着这些数量几乎无法收敛。 事实上，他们甚至不能从平等的角度收敛
和随机变量
是独立的，并且两者收敛于分布。
重对数律提供了两种限制缩放因子：
因此，尽管数量小于概率接近一个的任何预定义的ε> 0，但是该数量将会无限次地从该间隔中退出，实际上将会几乎肯定地访问区间（-√2，√2）任何一点的社区。
独立和相同分布（i.i.d.）随机变量之和的平均和有界增量的迭代对数（LIL）的定律可以追溯到20世纪20年代的Khinchin和Kolmogorov。
从那时起，对于各种依赖结构和随机过程，LIL已经有大量的工作。以下是一些显着发展的小样本。
哈特曼 - 温特纳（Hartman-Wintner，1940）将LIL推广到具有零均值和有限方差的增量的随机游走。
Strassen（1964）从不变性原理的角度研究了LIL。
Stout（1970）将LIL推广到固定的遍历mart。
de Acosta（1983）给出了Hartman-Wintner版本的LIL的简单证明。
维特曼（Wittmann，1985）将哈特曼 - 温特纳版本的LIL概括为满足更温和条件的随机游走。
Vovk（1987）导出了一个LIL的版本，对于单个混沌序列（Kolmogorov随机序列）有效。这是值得注意的，因为它在经典概率论之外。
王永贵已经表明，重对数律也适用于多项式时间伪随机序列，此外用于伪随机生成的基于Java的软件测试工具统计测试技术可用于测试随机发生器是否输出满足LIL的序列。