1870年7月19日爆发的普法战争使得庞加莱不得不中断学业。法国战败了，法国的许多城乡被德军洗劫一空并被德军占领。为了了解时局，他很快学会了德文。他亲眼看到的德军的暴行，成了一个炽热的爱国者。

1871年，庞加莱继续学业。

1872年庞加莱两次荣获法国公立中学生数学竞赛头等奖，从而于1873年被高等工科学校作第一名录取。据说，在南锡中学读书时，他的老师就誉称他为“数学巨人”。高等工科学校为了测试他的数学才能还特意设计了一套“漂亮的问题”，一方面要考出他的数学天才；另一方面也为了避免40年前伽罗瓦的教训重演。

1873年，庞加莱进入巴黎综合理工大学(école Polytechnique)，在那里他得以从事他擅长的数学，师从著名数学家查尔斯·厄米特，并发表了他第一篇学术论文。后来庞加莱继续跟随厄米特攻读博士学位。

1875年前后，庞加莱从理工大学毕业，进入南锡矿业大学继续学习数学和采矿。毕业后，他加入了法国矿业集团(CorpsdesMines)成为法国东北部矿产区的一名巡视员，与此同时，庞加莱继续在厄米特的指导下从事研究。在他一生的大部分时间里，庞加莱都不曾放弃他的工程事业，他在1881至1885年间负责北方铁路的建设工作，数年后成为法国矿业集团的总工程师，最后在总监的位置上退休。

1875年～1878年，庞加莱在高等工科学校毕业后，又在国立高等矿业学校学习工程，准备当一名工程师。但他却缺少这方面的勇气，且与他的兴趣不符。

1879年8月1日，庞加莱撰写了关于微分方程方面的博士论文，获得了巴黎大学博士学位。然后到卡昂大学理学院任讲师。

1881年任巴黎大学教授，直到去世。先后讲授数学分析、光学、电学、流体平衡、电学中的数学、天文学、热力学等课程。这样，庞加莱一生的科学事业就和巴黎大学紧紧地联在一起了。

1887年庞加莱当选为法国科学院院士。1887年入选法国科学院，后任院长，并于1906年被选为法兰西学院院士，这是法国学者的最高荣誉。

1899年因研究天体力学中的三体问题获奥斯卡二世（OscarⅡ）奖金。

1906年庞加莱当选为法国科学院院长.

1908年以作家身份（散文家）成为法兰西学院院士。

1908年庞加莱因前列腺增大而未能前往罗马，虽经意大利外科医生作了手术，使他能继续如前一样精力充沛地工作，但好景不长。

1912年春天，庞加莱再次病倒了，7月9日作了第二次手术；7月17日在穿衣服时，突然因血栓梗塞，在巴黎逝世，终年仅58岁。庞加莱是20世纪科学革命和哲学革命的先驱，“批判学派”代表人物之一。

庞加莱的研究涉及数论、代数学、几何学、拓扑学等许多领域，最重要的工作是在函数论方面。他早期的主要工作是创立自守函数理论（1878年）。他引进了富克斯群和克莱因群，构造了更一般的基本域。他利用后来以他的名字命名的级数构造了自守函数，并发现这种函数作为代数函数的单值化函数的效用。

1883年，庞加莱提出了一般的单值化定理（1907年，他和克贝相互独立地给出完全的证明）。同年，他进而研究一般解析函数论，研究了整函数的亏格及其与泰勒展开的系数或函数绝对值的增长率之间的关系，它同皮卡定理构成后来的整函数及亚纯函数理论发展的基础。他又是多复变函数论的先驱者之一。

庞加莱为了研究行星轨道和卫星轨道的稳定性问题，在1881～1886年发表的四篇关于微分方程所确定的积分曲线的论文中，创立了微分方程的定性理论。他研究了微分方程的解在四种类型的奇点（焦点、鞍点、结点、中心）附近的性态。他提出根据解对极限环（他求出的一种特殊的封闭曲线）的关系，可以判定解的稳定性。

1885年，瑞典国王奥斯卡二世设立“n体问题”奖，引起庞加莱研究天体力学问题的兴趣。他以关于当三体中的两个的质量比另一个小得多时的三体问题的周期解的论文获奖，还证明了这种限制性三体问题的周期解的数目同连续统的势一样大。

这以后，他又进行了大量天体力学研究，引进了渐进展开的方法，得出严格的天体力学计算技术。

庞加莱这一工作给N体问题的解决以及动力系统的研究带来巨大而无比深刻的影响：

第一，庞加莱证明了对于N体问题在N大于二时，不存在统一的第一积分（uniform first integral）。也就是说即使是一般的三体问题，也不可能通过发现各种不变量最终降低问题的自由度，把问题化简成更简单可以解出来的问题，这打破了当时很多人希望找到三体问题一般的显式解的幻想。在一百年后学习微分方程课的人大多在第二个星期就从老师那里知道绝大多数微分方程是没法找到定量的解的，但一般都能从定性理论中了解更多解的性质，甚至可以通过计算机“看到”解的形状行为。而在庞加莱的年代，大多数数学家更热衷于用代数或幂函数方法找到解，使用定性方法和几何方法来讨论微分方程就是起源于庞加莱对于N体问题的研究，这彻底改变人们研究微分方程的基本想法。

第二，为了研究N体问题，庞加莱发明了许多全新的数学工具。例如他完整地提出了不变积分（invariant integrals)的概念，并且使用它证明了著名的回归定理（recurrence theorem）。另一个例子是他为了研究周期解的行为，引进了第一回归映象（first return map）的概念，在后来的动力系统理论中被称为庞加莱映象。还有象特征指数（characteristic expontents），解对参数的连续依赖性（continuous dependence of solutions with respect to parameters）等等。所有这些都成为了现代微分方程和动力系统理论中的基本概念。

第三，庞加莱通过研究所谓的渐近解（asymptotic solutions），同宿轨道 (homoclinic orbits)和异宿轨道（hetroclinic orbits），发现即使在简单的三体问题中，在这样的同宿轨道或者异宿轨道附近，方程的解的状况会非常复杂，以至于对于给定的初始条件，几乎是没有办法预测当时间趋于无穷时，这个轨道的最终命运。事实上，半个世纪后，后来的数学家们发现这种现象在一般动力系统中是常见的，他们把它叫做稳定流形（stable manifold）和不稳定流形（unstable manifold）正态相交（intersects transversally）所引起的同宿纠缠（homoclinic tangle），而这种对于轨道的长时间行为的不确定性，数学家和物理学家称之为混沌（chaos）。庞加莱的发现可以说是混沌理论的开创者。

庞加莱还开创了动力系统理论。1895年，他证明了“庞加莱回归定理”。他在天体力学方面的另一重要结果是，在引力作用下，转动流体的形状除了已知的旋转椭球体、不等轴椭球体和环状体外，还有三种庞加莱梨形体存在。

庞加莱对数学物理和偏微分方程也有贡献。他用括去法（sweepingout）证明了狄利克雷问题解的存在性，这一方法后来促使位势论有新发展。他还研究拉普拉斯算子的特征值问题，给出了特征值和特征函数存在性的严格证明。他在积分方程中引进复参数方法，促进了弗雷德霍姆理论的发展。

庞加莱对现代数学最重要的影响是创立组合拓扑学。

1892年，他发表了第一篇论文。1895～1904年，他在六篇论文中建立了组合拓扑学。他还引进贝蒂数、挠系数和基本群等重要概念，创造流形的三角剖分、单纯复合形、重心重分、对偶复合形、复合形的关联系数矩阵等工具，借助它们推广欧拉多面体定理成为欧拉—庞加莱公式，并证明流形的同调对偶定理。

庞加莱的思想预示了德·拉姆定理和霍奇理论。他还提出庞加莱猜想，在“庞加莱的最后定理”中，他把限制性三体问题的周期解的存在问题，归结为满足某种条件的平面连续变换不动点的存在问题。

庞加莱在数论和代数学方面的工作不多，但很有影响。他的《有理数域上的代数几何学》一书开创了丢番图方程的有理解的研究。他定义了曲线的秩数，成为丢番图几何的重要研究对象。他在代数学中引进群代数并证明其分解定理。第一次引进代数中的左理想和右理想的概念。证明了李代数第三基本定理及坎贝尔—豪斯多夫公式。还引进李代数的包络代数，并对其基加以描述，证明了庞加莱—伯克霍夫—维特定理。

庞加莱对经典物理学有深入而广泛的研究，对狭义相对论的创立有贡献。早于爱因斯坦，庞加莱在1897年发表了一篇文章《The Relativity of Space》〈空间的相对性〉，其中已有狭义相对论的影子。

1898年，庞加莱又发表《时间的测量》一文，提出了光速不变性假设。

1902年，庞加莱阐明了相对性原理。

1904年，庞加莱将洛伦兹给出的两个惯性参照系之间的坐标变换关系命名为‘洛伦兹变换’。

1905年6月，庞加莱先于爱因斯坦发表了相关论文：《论电子动力学》。他从1899年开始研究电子理论，首先认识到洛伦茨变换构成群（1904年），第二年爱因斯坦在创立狭义相对论的论文中也得出相同结果。

庞加莱的哲学著作《科学与假设》《科学的价值》《科学与方法》也有着重大的影响。他是约定主义哲学的代表人物，认为科学公理是方便的定义或约定，可以在一切可能的约定中进行选择，但需以实验事实为依据，避开一切矛盾。在数学上，他不同意罗素、希尔伯特的观点，反对无穷集合的概念，赞成潜在的无穷，认为数学最基本的直观概念是自然数，反对把自然数归结为集合论。这使他成为直觉主义的先驱者之一。

1905年，匈牙利科学院颁发一项奖金为10000金克朗的鲍尔约奖。这个奖是要奖给在过去25年为数学发展做出过最大贡献的数学家。由于庞加莱从1879年就开始从事数学研究，并在数学的几乎整个领域都做出了杰出贡献，因而此项奖又非他莫属。

关于力学体系运动可逆性（或可复性）的定理。因由J.-H.庞加莱证明，故名。它指出，力学体系经过足够长的时间后总可以回复到初始状态附近。

1872年，玻耳兹曼在研究实际热力学过程的不可逆性即热力学第二定律的微观本质时，曾根据非平衡态的分布函数f（r，v，t）定义了一个函数H，并证明在孤立系统以非平衡态趋于平衡态的过程中，H随时间单调下降，在平衡态达到最小值，这就是H定理。玻耳兹曼认为，H函数与熵对应，H的减少与熵的增大对应，H定理为热力学第二定律提供了统计解释。但是庞加莱定理似乎与H定理相矛盾。根据庞加莱定理，当H函数随时间单调地减少之后，只要经过足够长的时间，总可以重新增大，回复到初始的数值。对此，玻耳兹曼的回答是，H定理具有统计性质，即非平衡态总是以绝对优势的概率趋于平衡态，逆过程并非完全不可能，只是概率极其微小。

主条目：庞加莱猜想

1904年，庞加莱在一篇论文中提出了一个看似很简单的拓扑学的猜想：在一个三维空间中，假如每一条封闭的曲线都能收缩到一点，那么这个空间一定是一个三维的圆球。但1905年发现其中的错误，修改为：“任何与n维球面同伦的n维封闭流形必定同胚于n维球面。”后来这个猜想被推广至三维以上空间，被称为“高维庞加莱猜想”。

大于等于五维的庞加莱猜想被斯蒂芬·斯梅尔证明；

四维的庞加莱猜想被迈克尔·弗里德曼证明；

三维的庞加莱猜想被俄罗斯数学家佩雷尔曼于2002-2003年证明。

他们分别获得1966年、1986年和2006年菲尔兹奖。

英国皇家天文学会金质奖章（1900年）

布鲁斯奖（1911年）

概述

阿达马这位曾在函数论、数论、微分方程、泛函分析、微分几何、集合论、数学基础等领域做出过杰出贡献的法国数学家认为，庞加莱“整个地改变了数学科学的状况，在一切方向上打开了新的道路。”

罗素认为，本世纪初法兰西最伟大的人物就是亨利·庞加莱。“当我最近在盖·吕萨街庞加莱通风的休息处拜访他时，……我的舌头一下子失去了功能，直到我用了一些时间（可能有两、三分钟）仔细端详和承受了可谓他思想的外部形式的年轻面貌时，我才发现自己能够开始说话了。”

这位“如此美貌，如此年轻”的孩子，竟然是那些洪水般涌来、预示了柯西的一个后继者的到来的论文作者，这是创办《美国数学杂志》的英国数学家西尔维斯特于1885年见到庞加莱的心情写照。

庞加莱逝世80年来的历史告诉我们，罗素、西尔维斯特、阿达马等的论断是多么正确！庞加莱一生发表的科学论文约500篇、科学著作约30部，几乎涉及到数学的所有领域以及理论物理、天体物理等的许多重要领域。

谈起庞加莱，大部分数学家都会马上想起一个著名的评价：庞加莱是最后一个数学全才，即指其为最后一个在数学所有分支领域都造诣深厚的数学家。同样著名的还有庞加莱本人的一句名言：数学家是天生的，而不是造就的。在庞加莱之前最近一个被称为数学全才的是高斯(Gauss)。

除了是一名数学家之外，庞加莱还是一位影响深远的物理学家，受惠于他的后人中包括当时正致力于完善狭义相对论的爱因斯坦。

三体问题，一鸣惊人

1885年，在刚创刊不久的瑞典数学杂志ActaMathematica的第七卷上出现了一则引人注目的通告：为了庆祝瑞典和挪威国王奥斯卡二世在1889年的六十岁生日，ActaMathematica将举办一次数学问题比赛，悬赏2500克朗和一块金牌。比赛的题目有四个，其中第一个就是找到多体问题的所有解。这是天体物理学中三体问题的一个推广。而庞加莱在读博士期间就已经开始研究太阳系中的多体问题。

但庞加莱最终却没有成功给出一个完整的解答，因为他发现这个系统的演变经常是混沌的，“混沌”是说如果初始状态有一个小的扰动，例如一个体的初始位置有一个小的偏移，则后来的状态可能会有极大的不同。也就是说，如果该小变动不能被我们的测量仪器所探测，则我们不能预测最终状态为何。他的工作令评委印象深刻，因此还是在1888年赢得了奖金，时年34岁。

这是庞加莱学术生涯中第一个重要的奖项，1888年五月庞加莱在比赛截止日期前交上了他的论文，六个月后他就被宣布为获胜者。评委维尔斯特拉斯很有预见地指出这篇论文将开创天体力学历史上的一个新纪元。

数学、物理界十项全能

从1881年开始直到其去世，庞加莱都在巴黎索邦大学任教，他曾教授过的课程包括物理、实验力学、数学物理、概率论、天体力学和天文学。一个有趣的小插曲足以证明庞加莱在当时的地位：当军政部长下令砍掉“没用的天文学”课程时，庞加莱说“我来教这门课”，官员们就只好闭嘴了，因为谁也不敢阻拦庞加莱开设任何科学课程。

庞加莱的一生中在数学和物理的各个领域都有建树，其中以其本人命名的科学发现就有庞加莱球面、庞加莱映射、庞加莱引理等。曾有人说：把一个微分几何学家和广义相对论学家从睡梦中摇醒，问他什么是庞加莱引理。假如答不出来，那他一定是假的。

值得指出的是，以庞加莱命名的发现在其去世后仍然没有停止：月亮上的一个火山口和一颗小行星都以他的名字命名。

在三体问题之后，1893年庞加莱参加了法国经度局，参与了把全世界的时间同步的活动。在1897年，他支持了一个没有成功的把弧度测量十进制化进而把时间和经度十进制化的建议。这项工作导致他考虑高速移动的钟如何互相同步的问题。1898年庞加莱阐述了相对论基本原理，根据这个原理，没有机械或电磁试验可以区分匀速运动的状态和静止的状态。和荷兰物理学家洛伦兹的合作中，他把时间的物理推向极限来解释快速运动的电子的行为。这项工作最终由爱因斯坦完成。

“暗战”爱因斯坦

在爱因斯坦之前，物理学家洛伦兹和数学家庞加莱都已经在这个方向上作了大量的工作，但庞加莱似乎无法接受爱因斯坦的狭义相对论，虽然两个人的结果是几乎一样的。因此庞加莱虽然一辈子作了不少关于相对论的演讲，但是他从来就没提起过爱因斯坦与相对论这两个词。爱因斯坦不仅不引用庞加莱的工作，并宣称从未读过。当爱因斯坦的母校ETH(苏黎世理工学院)要聘请爱因斯坦当教授时，庞加莱写了一封信，大大地夸奖了爱因斯坦一番，最后一段话非常微妙：“我不认为他的预言都能被将来验证，他从事的方向那么多，因此我们应该会想到，他的某些研究会走向死胡同。但在同时，我们有希望认为他走的某一个方向会获得成功，而某一个成功，就足够了。”

庞加莱于1912年去世，有个数学界的组织者给爱因斯坦去了一封信，说要出个纪念文集来纪念庞加莱，爱因斯坦拖了四个月才回信说，由于路上的耽搁，信刚刚收到，估计已经晚了，偏偏这位组织者不死心，说晚了也没关系，你写了就行。于是爱因斯坦又过了两个半月回信说，由于事务繁忙，实在没力气写了，然后就不了了之。

但爱因斯坦最终在1921年的讲演中公正地肯定了庞加莱对相对论的贡献。爱因斯坦评价庞加莱为相对论先驱之一，他这么说：洛伦兹已经认出了以他命名的变换对于麦克斯韦方程组的分析是基本的，而庞加莱进一步深化了这个远见……

“批判学派”代表之一

庞加莱是20世纪科学革命和哲学革命的先驱，“批判学派”代表人物之一。（李醒民）

月球上的庞加莱火山口

小行星：2021庞加莱

庞加莱大学