更新时间：2024-01-26 05:23
向量u的沿着向量v的共变导数(也写作D)是一个定义第三个称为 (也作Dvu)的向量的规则，它有如下面所述的导数的属性。向量是一个几何对象，和所选基(坐标系统)无关。固定一个坐标系之后，这个导数和向量基自身的变换规则相同(共变变换)，所以有这个名字。
在欧几里得空间的情形，如果有一个标准正交坐标系，一般会用两个相近的点的两个向量的差来定义向量场的导数。
在这样的系统中，平移其中一个向量到另一个的原点，保持和原来的向量平行。这样得到的欧氏空间的共变导数可以取每个分量的导数。
但是在一般情况，我们必须把坐标系的变化考虑在内。在弯曲空间中，例如地球表面（作为一个球面），平移没有严谨的定义，而和它相似的概念，平行移动，依赖于向量被平移的路径。例如，在二维欧几里得平面极坐标中，导数包含了额外的项用于表述坐标格点自身如何“转动”。在其他的情况下，还有额外的项描述坐标格点如何扩张，收缩，扭转，交织，等等。
一个例子是二维欧氏空间极坐标中的曲线。在曲线参数t的向量(比如说加速度，不在图中)可以表达在坐标系中，其中和是极坐标中的单位切向量，用作把一个向量分解为在辐向和切向分量的基底。稍后，极坐标的新基底会相对于第一套基底稍有转动。基向量的共变导数（克里斯托费尔符号可以表达这个变化）。
另一个例子：向量e在球上位于赤道上的一点Q，方向朝北。假设我们首先沿着赤道平行移动该向量直到P（然后保持它和自己平行））着子午线把它拖到北极N然后（保持方向）继续沿着另一条子午线移动它回到Q。然后我们注意到沿着封闭回路平行移动的向量不会回到原来的向量;它会变成另外一个方向。这在欧氏空间不会发生，它发生的原因是球的曲面上的曲率。如果我们沿着无穷小闭曲面依次沿着两个不同方向然后返回，我们会看到同样的现象。向量的无穷小变化是曲率的一个测量。
定义中的向量u和v是定义在同一点p的。而且共变导数也是p的一个向量。
共变导数的定义不用空间的度量。但是，一个给定的度量唯一的确定了一个特殊的共变导数，称为列维-奇维塔联络。
导数的性质暗示者依赖于p周围的情况，就像标量函数在一点p沿着曲线的导数依赖于p点周围一样。
共变导数在一个固定的坐标图中，可以用张量描述，但是它不是一个张量，因为它不是在坐标变换下不变的。
在共变导数中关于点p围的信息可以用来定义向量的平行移动。而且曲率，挠率和测地线也可以只用共变导数来定义。
偶尔，术语“共变导数”指一个一般向量丛沿着基空间的一个切向量的截面的导数；参看“联络形式”中的“向量丛”的有关章节。
给定坐标函数，任何切向量都可以用它的在基中的分量表示。 共变导数是一个向量，所以可以表示为基向量的线性组合Γek，其中Γ是分量（参看爱因斯坦记号）。 要给定共变导数，给定每个基向量场ej沿着ei的共变导数就可以了
系数Γi j称为克里斯托费尔符号。 然后使用定义中的规则，我们发现对于一般的向量场可以得到
u的分量的变化。特别的有
用语言描述的话：共变导数是一般的沿着坐标的导数加上关于坐标改变的校正项。在物理教科书中，共变导数有时只用这个方程中的分量形式表述。
一个常用的记法是，用一个分号表示共变导数，而用一个逗号表示普通导数。在这个记号下，我们把同样的公式写作：
这再次表明了向量场的共变导数不仅仅是从沿着坐标的微分中得到，而且是通过依赖于向量v本身的。