更新时间：2024-01-04 19:55
数学上，两个整数除以同一个整数，若得相同余数，则二整数同余（英文：Modular arithmetic，德文：Kongruenz）。同余理论常被用于数论中。最先引用同余的概念与符号者为德国数学家高斯。同余理论是初等数论的重要组成部分，是研究整数问题的重要工具之一，利用同余来论证某些整除性的问题是很简便的。同余是数学竞赛的重要组成部分。
公元972年，在一份阿拉伯手稿中，提出了这样一个问题：一个正整数n何时能成为一个由三个有理平方数形成的等差数列的公差，也就是说x-n，x，x+n都是平方数。十三世纪，意大利数学家斐波那契指出5和7是同余数，他也猜想1、2、3不是同余数，但未能给出证明。直到1659年，法国大数学家费尔马运用他自己发明的无穷下降法证明了1、2、3不是同余数。十八世纪，大数学家欧拉首次证明了7是同余数。1952年，Heegner证明了任意模8余5、7的素数和任意模4余3的素数的两倍均为同余数。2000年，美国克雷数学研究所公布了千禧年七大数学难题，每破解其中一个难题者将获得100万美元的奖金。其中就有著名的BSD猜想（全称Birch and Swinnerton-Dyer猜想），而这个猜想与同余数问题有紧密的联系。2012年，田野证明了存在无穷多个具有任意指定素因子个数的同余数，这是在同余数问题上的一个根本性突破，也首次给出了解决BSD猜想的线索。
两个整数a、b，若它们除以整数m所得的余数相等，则称a与b对于模m同余或a同余于b模m。
记作：a≡b (mod m)，
读作：a同余于b模m，或读作a与b对模m同余，例如26≡2(mod 12)。
设m是大于1的正整数，a、b是整数，如果m|(a-b)，则称a与b关于模m同余，记作a≡b(mod m)，读作a与b对模m同余。
显然,有如下事实
（1）若a≡0(mod m)，则m|a；
（2）a≡b(mod m)等价于a与b分别用m去除，余数相同。
充分性：
设a=mq1+r1,b=mq2+r2,0<=r1,r2 ∵ m|(a-b),a-b=m(q1-q2)+(r1-r2). 则有m|(r1-r2). ∵0<=r1,r2 ∴0<=|r1-r2| 又∵m|(r1-r2) 即r1-r2=0 ∴r1=r2. 1.反身性：a≡a (mod m)； 2.对称性：若a≡b(mod m)，则b≡a (mod m)； 3.传递性：若a≡b(mod m)，b≡c(mod m)，则a≡c(mod m)； 4.同余式相加：若a≡b(mod m)，c≡d(mod m)，则a c≡b d(mod m)； 5.同余式相乘：若a≡b(mod m)，c≡d(mod m)，则ac≡bd(mod m)。 证明： ∵a≡b(mod m)∴m|(a-b) 同理m|(b-c), ∴m|[(a-b)+(b-c)]∴m|(a-c). 故a≡c(mod m). 6.线性运算：如果a ≡ b (mod m)，c ≡ d (mod m)，那么 (1)a ± c ≡ b ± d (mod m)； (2)a * c ≡ b * d (mod m)。 证明： (1)∵a≡b(mod m), ∴m|(a-b) 同理 m|(c-d) ∴m|[(a-b)±(c-d)] ∴m|[(a±c)-(b±d)] ∴a ± c ≡ b ± d (mod m) (2)∵ac-bd=ac-bc+bc-bd=c(a-b)+b(c-d) 又 m|(a-b) , m|(c-d) ∴m|(ac-bd) ∴a * c ≡ b * d (mod m) 7.除法：若 ，则 ，其中gcd(c,m)表示c和m的最大公约数， 特殊地， 则 ； 8.幂运算：如果 ，那么 ； 9.若 ，n=m，则 ； 10.若 ，(i=1,2...n) 则 ，其中 表示m1,m2,...mn的最小公倍数。 1.欧拉定理：设a,m∈N，(a,m)=1，则 ， (注：φ(m)指模m的简系个数， φ(m)=m-1，如果m是素数； 2.费马小定理: 若p为质数，则 即 （但是当p|a时不等价）。 3.中国剩余定理（孙子定理）： 设整数 两两互素，令 （mi的连乘）。则对于任意的j在(1,n)整数，下列联立的同余式有解： 令x为从1到n，ajxj的和，则x适合下列联立同余式， 另：求自然数a的个位数字，就是求a与哪一个一位数对于模10同余。 一次同余式和孙子定理同余式的求解中，一次同余式是最基本的。设整系数n次(n>0)多项式 ，(1)m是一个正整数且不能整除αn，则 叫做模m的n次同余式。如果整数α是(1)的解且 ，那么α也是(1)的解，因此(1)的不同解是指满足(1)的模 m互不同余的数。对于一次同余式 有解的充分必要条件是(α,m)│b)，若有解则有(α,m)个解。一次同余式组是指 。 (2) 在中国古代《孙子算经》中，对某些具体的一次同余式组已有解法，把这一解法加以推广，就是著名的孙子剩余定理：设m1, m2,…, mk是k个两两互素的正整数 ，则同余式组(2)的解是。式中，孙子剩余定理又被称之为中国剩余定理，是数论中一个重要的定理，除了数论本身，数学的许多其他分支以及一些应用学科都要用到它。例如,设 两两互素，利用孙子剩余定理可将同余式(1)的求解问题化为同余式组 的求解问题，于是就只需要研究(1)中m是素数方幂的情形了。又如,可将0≤x 两两互素，而x表示x模mi的最小非负剩余。 如果已知x的模系数记数法，就可用孙子定理找出x。这个记数法的优点是加法和乘法无须进位，它在计算机方面有应用。 素数为模的同余式关于素数为模的同余式，1770年，J.-L.拉格朗日证明了如下定理：设p是素数，那么模 p的n次同余式的解数不大于 n（重解也计算在内）。人们称之为拉格朗日定理。由此立即可以得威尔森定理：如果 p是素数，那么(p-1)!+1≡0(mod p)。因为x-1≡0(mod p)有p-1个解1,…,p-1，故由拉格朗日定理可得 将x=0代入上式得-1≡(-1)(p-1)!(mod p),这就证明了威尔森定理。威尔森定理的逆定理也是成立的，可用反证法简单证出。用拉格朗日定理还可证明：当p≥5是一个素数时,则有同余。这个定理是1862年，由J.沃斯顿霍姆证明的。 设 是n元整系数多项式,p是一个奇素数，对于同余式 的解 的个数N的研究，是数论的重要课题之一。 早在1801年，C.F.高斯就研究了同余式 的解的个数，这里 和同余式 的解的个数，这里 。 设ƒ(x)模 p无重因式，1924年，E.阿廷猜想同余式 ，在ƒ(x)的次数为3和4时，N分别满，1936年，H.哈塞证明了这一猜想，并且还证明了对于一般含q个元的有限域，把以上两式中p换成q，也是对的。1948年，韦伊对于一般的ƒ(x,y)=0在有限域上得到类似的结果，他猜想对于 也有类似的结果。1973年，P.德利涅证明了韦伊猜想。他的杰出工作获得了1978年的国际数学家会议的费尔兹奖。