更新时间:2024-07-10 15:48
直线上介于固定的两点间的所有点的集合(不包含给定的两点),用(a,b)来表示(不包含两个端点a和b)。开区间的实质仍然是数集,该数集用符号(a,b)表示,含义一般是在实数a和实数b之间的所有实数,但不包含a和b。相当于{x|a
在数学里,区间通常是指这样的一类实数集合:如果x和y是两个在集合里的数,那么,任何x和y之间的数也属于该集合。例如,由符合0 ≤ x ≤ 1的实数所构成的集合,便是一个区间,它包含了0、1,还有0和1之间的全体实数。其他例子包括:实数集,负实数组成的集合等。
区间也是区间算术的核心概念。区间算术是一种数值分析方法,用于计算舍去误差。
区间的概念还可以推广到任何全序集T的子集S,使得若x和y均属于S,且x
通用的区间记号中,圆括号表示“排除”,方括号表示“包括”。例如,区间(10, 20)表示所有在10和20之间的实数,但不包括10或20。另一方面,[10, 20]表示所有在10和20之间的实数,以及10和20。而当我们任意指一个区间时,一般以大写字母 I 记之。有的国家是用逗号来代表小数点,为免产生混淆,分隔两数的逗号要用分号来代替。
直线上介于固定的两点间的所有点的集合(不包含给定的两点),用(a,b)来表示(不包含两个端点a和b)。
开区间的实质仍然是数集,该数集用符号(a,b)表示,含义一般是在实数a和实数b之间的所有实数,但不包含a和b。相当于{x|a 1、开区间指的是区间边界的两个值不包括在内;(a,b) 2、闭区间指的是区间边界的两个值包括在内。[a,b] 3、半开半闭区间:开区间一边的边界值不包括在内,而闭区间一边的边界值包括在内。[a,b)、(a,b] 如下: [a,b] a<=x<=b 取值包括a、b (a,b)a [a,b) a<=x (a,b] a 设函数f(x)在闭区间[a,b ]上连续,则有 (1) f(x)在闭区间[a,b ]上有界,即存在M>0,x∈ [a,b ],有| f(x)|≤ M。 (2) f(x)在闭区间[a,b ]上取到最大值与最小值,即存在 x1、x2∈ [a,b ],使f(x1)=m,f(x2)=M,且 任意 x∈ [a,b ],有m≤ f(x)≤ M。 (3)任意Y∈ [m,M],存在 c∈ [a,b ],使f(c)=Y。 (4)f(x)在闭区间[a,b ]上一致连续。 当在开区间(a,b)上时,相关结论如下: (1)若f(x)在开区间(a,b)上连续,且f(a+ 0),f(b-0)存在,则① f(x)在(a,b)上有界;② f(x)在(a,b)上一致连续。 (2)若f(x)在开区间(a,b)上连续,且f(a+ 0),f(b-0)存在,①若f(a+ 0)与f(b-0)不是f(x)在开区间(a,b)上的上界,则f(x)在(a,b)上取得最大值。②若f(a+ 0)与f(b-0)不是f(x)在开区间(a,b)上的下界,则f(x)在(a,b)上取得最小值。 (3)若f(x)在开区间(a,b)上连续,f(x)在(a,b)取到最小值m与最大值M,则 任意 Y∈ [m,M],存在c∈ [a,b ],使f(c)=Y。 微分中值定理是利用导数研究函数在区间上的整体性态的有利工具。《高等数学》教材中的几个微分中值定理都建立在闭区间上,利用导数研究开区间上函数的整体性态,常先转化到闭区间,再利用中值定理加以解决。然而微分中值定理的条件是充分条件,在开区间上定义的函数只要满足相应的性质,就有可能使微分中值定理的结论成立。 引理: 设(a,b)为有限或无穷区间,,f( x)在( a,b)内可导,,则至少存在一点,使。 定理 1 若函数 f 满足如下条件: 1)f 在(a,b)内可导,其中(a,b)为有限开区间; 2)、 则(a,b)内至少存在一点 c,使得。 定理二:若函数 f 与 g 满足如下条件: 1)f 、g在(a,b)内可导,其中(a,b)为有限开区间; 2)、、、,且,则(a,b)内至少存在一点 c,使得。