李导数用向量场表示，这些向量场可看作M上的流的无穷小生成元。从另一角度看，M上的微分同胚组成的群，有其对应的李导数的李代数结构，在某种意义上和李群理论直接相关。

李导数有几种等价的定义。在本节，为简便起见，我们用标量场和向量场的李导数的定义开始。

李导数的定义可以从函数的微分开始。这样，给定一个函数f:M→ℝ和一个M上的向量场X，f在点p∈M的李导数定义为

其中df是f的微分。也就是，df:M→T*M是由下式给出的[1-形式]：

这里，dxa是余切丛T*M的基向量。这样，记号 表示取f（在M中的点p）的微分和向量场X（在点p）的内积。

或者，可以先表明M上的光滑向量场X定义了一个M上的单参数曲线族。也就是，可以表明存在曲线在M上使得

其中 对于所有M中的点p成立。这个一阶常微分方程的解的存在性由皮卡-林德洛夫定理给出（更一般的，这种曲线的存在性是弗罗贝尼乌斯定理给出）。然后可以定义李导数为

第三个可能的定义可以通过先定义一对向量场的李括号给出。首先注意到切空间的基向量可以写为 ，所以一个向量场，用一组选定的基向量可以表示为

定义李括号为

然后定义向量场Y的李导数等于X和Y的李导数，也就是，𝓛XY=[X,Y]。

根据上面任选的一个定义，其他的定义可被证明为其等价形式。 例如，可以证明，对于一个可微函数f， 并且

我们用在1-形式 上的李导数的定义来结丛本节： .

李导数有一些属性。令𝓕(M)为流形M上的函数组成的代数。则 是一个在代数𝓕(M)上的导子。也就是， 𝓛X是R-线性的，并且 。

类似的，它是 上的一个导数，其中 是M上的向量场的集合：

也可写为等价形式

其中张量积符号⨂用于强调函数和向量场的积在整个流形上取。另外的性质和李括号的一致。所以，例如，作为向量场的导数，

容易发现上面就是雅可比恒等式。这样，就可以得到“装备了李括号的M上的向量空间是李代数。

李导数和外导数密切相关，因此和埃里·嘉当的微分流形理论相关。 两个都试图给出导数的思想，其差别几乎只是记号上的。这个区别可以通过引入反导数或等效的内积来消除。 这之后，两者的关系就体现在一组恒等式上。

令M为一个流形，X为M上一个向量场。令 为一k+1-形式。X和ω的内积为

注意， 是 -反导数。也就是，是R-线性的，并且 。

对于 和另一个微分形式η成立。另外，对于一个函数 ，那是一个实或复值 的M上的函数，有

外导数和李导数的关系可以总结为以下这些。对于一般函数f，李导数就是外导数和向量场的内积：

对于一般的微分流形，李导数类似于内积，加上X的变化：

当ω为1-形式，上述恒等式经常写作

导数的乘积是可分配的

在微分几何中，如果我们有一个 阶可微张量场（我们可以把它当作余切丛 的光滑截面 和切丛 的截面 的线性映射 ），使得对于任何函数 有 而且如果进一步有一个可微向量场（也就是切丛的一个光滑截面） ，则线性映射独立于联络∇；只要它是无挠率的，事实上，这个映射是一个张量。这个张量称为 关于 的李导数。

换句话说，如果你有一个张量场 和一个由向量场 给出的微分同胚的无穷小生成元，则 就是 在这个无穷小微分同胚下的无穷小变化。

或者，给定向向量场 ，令ψ为 的积分曲线族，向上面那样。注意ψ是一个局部单参数局部微分同胚群。令 为由ψ诱导的拉回。则张量 在 点的李导数如下