更新时间：2024-09-07 13:29
那么，
充分性
由于数列的柯西收敛准则是实数连续性的体现之一，所以用实数公理——戴德金定理证明收敛。
首先证明柯西序列是有界的。根据柯西序列的定义，，，当时，有。
于是取，则当时，有。
故，即当时，既有上界又有下界，所以是有界的。
向上述数列中添加的前项得到本身，则由于前项都是确定的实数，不会改变的有界性（即使此时的上、下界发生变化）。故，都是有界的。
其次证明柯西序列收敛。设，有一个实数集，中的任一元素满足：区间中最多有中的有限项（注意用词“最多”，意味着可以有0项），而中的无限项都落在。并设，则：
①由取法可知，并且显然。即和都是非空数集。
②。
③根据集合和的定义，中任意元素都小于中的任意元素。
由戴德金定理得，存在唯一实数，使要么是中的最大值，要么是中的最小值。
∵是和的分界点
∴，
④由的定义可知，，。
根据已知条件，当时，
于是。联立④中的不等式，可得到。
也就是当时，不等式成立
∴
作为柯西收敛准则的应用，我们可以证明实数的确界原理：非空有上（下）界数集，必有上（下）确界。
设是一个非空有上界的数集，且是其一个上界。则由的非空性及实数的有序性可知，必定存在一个实数，使得小于中的某个元素，即不是的上界。
把闭区间二等分，考虑闭区间中点，若是的上界，则令；否则令。
重复此步骤，即若某个闭区间中点是的上界，则令，否则令。这样一来得到了一系列闭区间，满足
①
②
并且由闭区间的构造方式可知，对任意自然数，都不是的上界，而都是的上界。
下证、收敛。
由极限的定义，根据②可知，，，使得当时，。
并且对任意正整数和，根据①可知，。
于是当时，。
令，即可得到是一个柯西序列，由柯西收敛准则知收敛。
设，由②得。
下证是的上确界。
∵是的上界
∴对中的任一元素，都有
由极限的保序性逆定理可知，即是的上界。
又取任意，由及极限保序性可知，存在正整数，当时，就有。
∵不是的上界
∴不是的上界
即比小的数不再是的上界。根据上确界的定义，是的上确界，即非空有上界的数集必有上确界。
设是一个非空有下界的数集，是的所有下界组成的数集。
根据下界的定义，，都有。换句话说，中的所有元素都是的上界，是一个非空有上界数集。由于已证得非空有上界数集必有上确界，所以有上确界，记该上确界为。
下证也是的下确界。
显然，这是因为若，则根据上确界的定义可知，一定是中的最小值，即对中的所有元素，都有。根据下界的定义，也是的一个下界，这样一来，与假设矛盾。
又取任意，所以，即比大的数不再是的下界。根据下确界的定义，是的下确界，即非空有下界数集必有下确界。
数项级数收敛的充要条件是：对任意给定的正数，总存在正整数，使得当时，有
设数项级数的部分和为，根据级数收敛的定义，收敛当且仅当收敛。
显然，对于确定的来说，有唯一确定的数值，这样一来就是一个数列。故考虑用数列的柯西收敛准则来证明。
∵
∴由数列的柯西收敛准则可知，数项级数的柯西收敛准则也成立。
考虑到数列是定义域为正整数集的特殊函数，可以猜想，函数的敛散性也应有类似的结论，这就是接下来要说的函数的柯西收敛准则。
（1）时的准则
收敛的充要条件是：对任意给定的正数，总存在正数，使得当时，有
（2）时的准则
收敛的充要条件是：对任意给定的正数，总存在正数，使得当时，有
以上两条准则针对单侧极限依然有效。
必要性
（1）时的准则
设，则，，当时，有
那么，
（2）时的准则
设，则，，当时，有
那么，
充分性
由于函数极限和数列极限可以通过归结原则联系起来，所以要证明函数收敛，可以转化为证明数列收敛。而数列收敛的柯西准则上面已经证明了，所以把已知条件转化为求数列极限是证明的重心。
归结原则（或称海涅定理）：设在的某个去心邻域（或大于某个正数时）有定义，那么（或）的充要条件是，对在的某个去心邻域内的任意收敛于并且满足的数列（或绝对值大于某个正数的任意发散到无穷大的数列），都有数列收敛到，即
这个原则在这里不证明，只需要注意的是定理中的“任意”二字。另外，若函数极限是单侧极限，则相应的任意数列都是单调数列（右极限对应任意单调递减数列，左极限对应任意单调递增数列）。
（1）时的准则
设是的某个去心邻域内的任意收敛到并且的数列，由数列极限的定义，，（注意这里的就是柯西条件的），当时，有
而由可知，
换句话说，当时，有
这也就是数列的柯西收敛准则，由柯西收敛准则可知数列收敛。又因为的任意性，得到任意的极限都相等。于是根据归结原则，收敛。
（2）时的准则
设是绝对值大于某个正数的任意发散到无穷大的数列，由数列发散到无穷大的定义，，（注意这里的就是柯西条件的），当时，有
而由可知，
换句话说，当时，有
这也就是数列的柯西收敛准则，由柯西收敛准则可知数列收敛。又因为的任意性，得到任意的极限都相等。于是根据归结原则，收敛。
反常积分分为两种，一种是积分区间无穷大的反常积分（又称无穷限的反常积分），另一种是被积函数为无界函数的反常积分（又称无界函数的反常积分、瑕积分）。因此相应的柯西收敛准则有两种，两种准则的描述有些区别，但都可以从函数的柯西收敛准则得出。
（1）无穷限的反常积分
无穷限的反常积分收敛的充要条件是，对任意给定的正数，总存在正数，使得当时，有
前提是。
无穷限的反常积分收敛的充要条件是，对任意给定的正数，总存在正数，使得当时，有
前提是。
（2）瑕积分
瑕积分（其中是的瑕点）收敛的充要条件是，对任意给定的正数，总存在正数，使得当时，有
前提是。
瑕积分（其中是的瑕点）收敛的充要条件是，对任意给定的正数，总存在正数，使得当时，有
前提是。
（1）无穷限的反常积分
考虑的情况。
设。由无穷限反常积分收敛的定义可知，收敛，当且仅当收敛。
于是根据函数的柯西收敛准则，收敛的充要条件是，，，使得当时，有
由定积分的性质可知，。
综合上述过程，就得到收敛的充要条件是：，，使得当时，有
由此证得无穷限反常积分的柯西收敛准则。
的情况同理可证。
（2）瑕积分
考虑是瑕点的情况。
设。由瑕积分收敛的定义可知，收敛，当且仅当收敛。
于是根据函数的柯西收敛准则，收敛的充要条件是，，，使得当时，有
由定积分的性质可知，。
综合上述过程，就得到（是瑕点）收敛的充要条件是，，，使得当时，有
但是，等价于。令，即得到，由此证得瑕积分的柯西收敛准则。
是瑕点的情况同理可证。
函数列，指的是定义域相同的一列函数，，，……所构成的集合，可以简写成。
而函数项级数，则是由这无穷多个函数相加所构成的级数
关于函数列和函数项级数的收敛性，有以下几种定义：
（1）函数列（或函数项级数）在某一点收敛
设为定义域上的某一点，那么是某个具体的常数，因此函数列（或函数项级数）就转化为一个数列（或数项级数）。若当时，这个数列（或数项级数）的极限存在，则称函数列（或函数项级数）在处收敛，而把称作函数列（或函数项级数）的收敛点，并把所有收敛点构成的集合称为收敛域。显然，收敛域是定义域的一个子集。
（2）极限函数与和函数
对于收敛域内任意一个数，函数列（或函数项级数）成为一收敛的数列（或数项级数），因而有确定的函数值（或和）。通过这种对应关系，在收敛域上就定义了一个函数列的极限函数（或函数项级数的和函数），写作（或），并有：
（或，是函数项级数前项的部分和）
注：显然函数项级数前项的部分和所构成的集合同样是一个函数列，并且。
利用语言，可以精确地定义极限函数：
（3）函数列（或函数项级数）一致收敛
根据（2）中极限函数的定义，我们可以知道函数列具有极限函数的充要条件是：对任意给定的正数，总存在正整数，使得当时，有。通常这个不仅与有关，也与自变量有关，即使不变，当发生改变时，也会随之改变。但是，如果某个函数列能找到这样一个正整数，它只与有关，而与自变量无关，即对任意（是函数列的定义域或其子集），只要时，就有。函数列的这种性质，就是下面要介绍的一致收敛。
设是函数列的定义域（或其某个子集），是上有定义的函数。如果对任意给定的正数，总存在正整数，使得当时，对任意，都有，则称函数列在上一致收敛于。
又设是函数项级数的部分和函数列，若在上一致收敛于，则称函数项级数在上一致收敛于。
显然，函数列（或函数项级数）即使在某数集上处处都收敛（又叫逐点收敛），也不一定在该数集上一致收敛。但在某数集上一致收敛时，一定在该数集上逐点收敛。逐点收敛和一致收敛的关系可以参考函数连续和一致连续的关系。
（1）函数列的柯西收敛准则
函数列在上一致收敛的充要条件是：对任意给定的正数，总存在正整数，使得当时，对任意，有
（2）函数项级数的柯西收敛准则
函数项级数在上一致收敛的充要条件是：对任意给定的正数，总存在正整数，使得当时，对任意，有
（1）函数列的柯西收敛准则
必要性
设，则，，当时，，有
那么，
充分性
由于对确定的，为某一确定的数列，因此根据数列的柯西收敛准则，当取遍上的每一点时，函数列总收敛，设其极限函数为。
现只需要证明，一致收敛于。
事实上，由于已证得，根据极限的定义，，，使得当时，有
于是，当时，
这里的和都是柯西条件中的，即只和有关，而对任意都适用。
因此根据一致收敛的定义，一致收敛于。
（2）函数项级数的柯西收敛准则
根据函数项级数一致收敛的定义，我们只需要证明部分和函数列在上一致收敛于。显然，一致收敛于的充要条件即是：，，使得当时，，有
那么，函数项级数一致收敛的充要条件亦即是：，，使得当时，，有