一个几何区域有了测度，我们就可以定义上面的函数的积分，这是推广的黎曼积分。

比如实数上的狄利克雷函数D(x)=1(如果x是有理数)，0（如果x是无理数）。 如果按照通常的理解，我们发现狄利克雷函数在整个数轴上的定积分不存在；但是按照上面讲的有理数的测度，我们就可以求出它的定积分是0。

实直线上的测度如下给出：

设E是实数集，考虑可数个区间(aj,bj)满足对任何x∈E,都有某个j,使得x∈(aj,bj);考虑所有情形下和(b1-a1)+(b2-a2)+..的下确界称为E的外测度

直观含义上面已经解释过了。

测度的相关数学定义：

集函数：设Ψ是上的非空集合类。若对于每一个A∈Ψ,都有一个实数或者±∞之一与之对应(为确定起见，下面假定只取+∞)，记为φ(A)，且至少有一个A∈Ψ,使得φ(A)取有限值，称φ(A)为定义在Ψ上的集函数。

(1)若对任意的正整数n以及任意的Ai∈Ψ，i=1，2……，n，Ai∩Aj=O;(i≠j)，且(A1∪A2∪…Ai∪…An)∈Ψ，有：

φ(A1∪A2∪…Ai∪…An)=∑[φ(A1)∪φ(A2)∪…φ(Ai)∪…φ(An)]，

则称φ在Ψ上具有有限可加性，也称φ是Ψ上的有限可加集函数。

(2)若对可列集的Ai∈Ψ，i=1，2……，n，Ai∩Aj=O;(i≠j)，且(A1∪A2∪…Ai∪…A∞)∈Ψ，有

φ(A1∪A2∪…Ai∪…A∞)=∑[φ(A1)∪φ(A2)∪…φ(Ai)∪…φ(A∞)]，

则称φ在Ψ上具有完全可加性或者б-可加性，也称φ是Ψ上的б-可加集函数或者广义测度。

(3)若对每一个A∈Ψ，φ(A)都取有限值，则称φ为上的有限集函数。如果对每一个A∈Ψ，存在一个集合序列⊂Ψ，使得

A⊂(A1∪A2∪…Ai∪…A∞)，φ(An)<+∞，n=1，2，……

则称φ是Ψ上的б-有限集函数。

(4)若集函数为有限可加且只取非负值则称为有限可加测度。若集函数为б-可加，且只取非负值，则称为测度，用μ或ν表示。具有性质Ω∈Ψ且ν(Ω)=1的测度，称为概率测度或者简称概率，一般用P表示。

若尔当(Jordan，M.E.C.)于1892年在R中发展了佩亚诺可测集的概念。原来定义外测度时，要用多边形去覆盖点集，他规范为用有限个开区间去覆盖，其余不变。若尔当的改进使测度概念前进了一大步，蕴涵了勒贝格测度的萌芽，但仍有明显的缺点。主要是它仍只具有有限可加性，从而导致有些简单的点集也不可测。例如，令A=[0，1]∩Q，则A的若尔当内测度为0，而外测度为1，因而A在若尔当意义下不可测。总之，若尔当测度只适合于黎曼积分的需要。

波莱尔(Borel，(F.-É.-J.-)É.)于1898年，先由开集经过可列并与余的运算导致一类集，即所谓波莱尔集类。再对每个有界波莱尔集对应一个实数，即波莱尔测度，并使得这种测度具有可列可加性。波莱尔的这种思想对测度理论做出了重大贡献，成为近代测度论中用公理方式引出σ代数概念的起源，并为勒贝格(Lebesgue，H.L.)的工作开辟了道路.波莱尔的学生勒贝格在前人工作的基础上，于1902年以更一般的形式建立起比较完善的测度理论。他在定义点集测度的方法上，容许可列覆盖，使所建立的测度具有可列可加性，并且相当广泛的一类点集的测度有了定义。

勒贝格测度是现代抽象测度的起源，在它的基础上建立的勒贝格积分，是现代分析中应用最广和意义重大的积分。卡拉西奥多里(Carathéodory，C.)于1914年发展了外测度理论，对测度进行了公理化研究，并给出了测度扩张的典型方法，成为近代测度论的基础.拉东(Radon，J.)、萨克斯(Saks，S.)、弗雷歇(Fréchet，M.-R.)以及另外一些人考虑了一般集合上的测度以及测度空间的乘积，并建立了一般可测集上积分的理论。

一般集合上的测度和积分理论是最广泛的测度理论，但为适应各方面的需要，还出现了其他种种特殊的测度和积分.例如，20世纪30年代初，伴随着人们对取值于巴拿赫空间的函数性质特别是可微性和可积性的研究，出现了有关向量值测度的一些工作。1960年以后，向量值测度理论得到蓬勃发展，并逐渐趋于完善。又如，19世纪建立的傅里叶分析理论，对于应用数学而言，当时已是令人满意的数学工具，但由于黎曼积分的局限性，对于函数与展开式之间的关系，直到勒贝格积分理论确立之后才有深刻的揭示。

勒贝格积分的出现对于傅里叶展开的研究显然促进了一大步，但依旧显示出了它的局限性。研究拓扑群上的测度是建立群上傅里叶分析的基本问题之一，这个问题自1930年以来，经过哈尔(Haar，A.)、韦伊(Weil，A.)和盖尔范德(Гельфанд，И.М.)等人的工作而趋于完善。再如，20世纪初测度论的建立，使得人们对R中的子集关于n维勒贝格测度的性质有了很好的了解。但在处理与R中低维点集有关的数学问题时遇到了困难。在这种背景下，20世纪20年代出现了几何测度论，它是研究高维空间中低维点集的测度及低维点集上积分的理论。

测度概念与积分概念紧密相关。每一种测度理论的推广都可导致一种积分理论的推广.测度理论不仅是积分理论的基础，而且在现代分析以及概率论等许多数学领域中也有着广泛的应用。

此外，测度还可以取值于任何线性空间（通常带有一定拓扑，比如Banach空间），只要满足相应的可数可加性。在Hilbert空间算子理论中还有所谓谱测度的概念，其中测度的取值为一固定Hilbert空间中投影算子的全体，且满足（在强意义下）的可数可加性。

如果测度空间X是拓扑空间而所考虑的б代数（或者б环，后者按照Halmos《Measure Theory》）由全体紧集生成（这定义不是标准的；有的书上说是由全体开集生成），且测度在每个紧集上取有限值，则称为Borel测度。如果Borel测度限制在所有能写成可数个开集的交的紧集生成的б环上，则称为Baire测度。如果任何可测集E满足

μ(E)=sup{μ(K): K含于E,K紧}=inf{μ(O):O包含E,O开}

则称μ为正则测度。

Riesz-Markov表示定理：设X为局部紧T2空间，则对Cc(X)（即X上有紧支集的连续函数全体）上任何正线性泛函φ，存在正则Borel测度μ使得对任何f，φ(f)等于f关于μ的积分。

1上的左开右闭的有限区间(α,b](α=b时，(α,b]表示空集）的全体记为P，P便是R1上的集类，但不是环。P中任意有限个集的并的全体记为R0，R0便是R1上的环，但不是代数。直线上任意有限个区间（1上的代数。

环或代数虽对集的代数运算（即并、差、交运算）封闭，但对极限运算不一定封闭，这就不适应分析数学的要求。因此，需要引入下面的概念：设φ)是Χ上的一个环,如果它对集的可列并运算封闭，则称φ为Χ上的σ环；如果φ是σ环，并且Χ∈φ)，则称φ)为Χ上的σ代数。σ环就对集的并、差、交以及极限运算都封闭，而σ代数还对集的求余集运算封闭。例如，R0不是R1上的σ环，而L可测集（或L-S可测集）的全体是R1上的σ代数。又如Χ的一切子集的全体Χ是Χ上的σ代数。由于任意个环的交仍是环，因此对一个集类E，一切包含E的环的交是包含E的最小环，记为R（E）。同样，包含E的最小σ环记为φ(E)。

设φ是Χ 上的σ环，称（Χ，φ)为可测空间，而称φ中的任何集A为(Χ,φ)中的可测集（也称为Χ中的φ可测集）。如果Χ是Rn，而φ分别是Rn中 L可测集全体（记为L）、由单调增加右连续函数g(x)生成的L-S可测集全体（记为 Lg）、波莱尔集全体（记为B）,则相应地称(Χ,φ)是L可测空间、L-S可测空间、波莱尔可测空间。设E是可测空间(Χ，φ))中的可测集，ƒ是定义在E上的有限实值函数。

如果对任何实数с，{Χ│ƒ(x)>с}∈φ，那么称ƒ为E上关于(Χ,φ)的可测函数，也称为E上的φ)可测函数。这种可测函数是L可测函数、L-S可测函数等概念的直接推广。它有许多等价定义方式,并且具有L可测涵数所具有的代数性质及极限性质。定义在E上的复值函数ƒ，如果它的实部、虚部都是可测函数，那么就称ƒ为E上的可测函数。可测空间、可测集、以及可测函数等概念原则上并不涉及测度。

设Χ是非空集,E是Χ上的集类,定义在E上的函数称为集函数（因为自变元是属于E，它是Χ的子集）。设R是Χ上的环，μ是定义在R上的取非负的广义实值(可以取值+∞)的集函数，如果满足：①μ(═)=0(═是空集)；②(可列可加性)对任何一列互不相交的 An∈R(n=1,2…,),并且：式①，有：式②=③，则称μ为环R上的测度。设(Χ,φ)是一个可测空间,μ是定义在φ上的测度，则称(Χ,φ),μ)是测度空间。特别，(R1,L,m)及(R1,Lg,mg)分别称为（直线上的）L测度空间和L-S 测度空间。测度空间(Χ,φ,μ)中的测度μ 除了平移、反射不变性以及余集（勒贝格测度m的其他性质。由于φ是σ环,对集的极限运算封闭，所以测度空间是建立具有良好的极限性质的积分的基础。

设A是可测空间(Χ，φ)中可测集。如果有一列可测集{An},μ(An)<∞(n=1,2,…)，使得：式④，则称A为σ有限集。如果φ)中一切集都是σ有限的,则称(Χ,φ),μ)是σ有限的测度空间。特别，当φ是σ代数且Χ是σ有限集时,称(Χ,φ),μ)为全σ有限测度空间。通常分析数学中所用的具体的(Χ,φ)，μ)大都是全σ有限测度空间。

设测度空间(Χ,φ),μ)中的φ)是σ代数,如果μ(Χ)<∞,则称(Χ,φ),μ)为全有限的测度空间。特别,当μ(Χ)=1时，称(Χ,φ),μ)为概率测度空间（概率论中用的全是这种空间）。

设A是测度空间(Χ,φ),μ)上的可测集。如果μ(A)=0，则称A为μ零集。如果(Χ,φ),μ)中任何一个μ零集的任何子集都是可测集，则称（Χ，φ), μ）为完全测度空间。例如(R1,L,m)，(R1,Lg,mg)都是完全的、全σ有限的测度空间。

同L测度一样,在测度空间(Χ,φ，μ)中也有命题P在E上“几乎处处”成立的概念，它是指E中使命题P不成立的点的全体（它可能不是可测集）包含在某个μ 零集中。对于完全测度空间，命题P在E上几乎处处成立就是指使命题 P不成立的点的全体是μ零集。在不完全的测度空间上，关于μ几乎处处相等的两个可测函数ƒ和h，未必能从ƒ的可测性推出h也是可测的,只有在完全测度空间才能做到这一点。

对于测度空间上的可测函数序列，常用的重要收敛概念同样有两个：一是E上可测函数列{ƒn}几乎处处收敛于可测函数ƒ，即{x│ƒn(x)→ƒ(x)}包含在某个μ零集中；另一是E上可测函数列{ ƒn}度量收敛 (或称依测度收敛)于可测函数 ƒ，即对任何 ε>0，式⑤，上述两种收敛的关系是和L测度的情形一样。此外，在测度空间上也成立叶戈罗夫n}在Eδ上一致收敛于ƒ。类似于L测度的情形，在测度空间上也可引入度量基本序列（或依测度基本序列），并成立相应的完备性定理。

同 L积分建立过程完全一样，可以建立测度空间上的积分概念,将那里的测度m换成μ即可。L积分所具有的大部分性质对一般的测度空间上的积分也是成立的。在测度空间中也有积分平均收敛,平方平均收敛或更一般的p次平均收敛的概念以及相应的性质。

对积分来说，采用关于集的极限运算不封闭的环上的测度是不够的,有用的是σ环上的测度。然而由于环的结构比σ环的结构要简单得多,所以在环上给出一个测度或验证环上的某个非负集函数是否是测度往往比在 σ环上要简单得多。自然就产生定义在环R上的测度是否一定能延拓成包含R的最小σ环φ(R)上的测度的问题。测度论中证明了如下重要定理：任何环上的σ 有限测度必可惟一地延拓成包含它的最小σ 环上的 σ有限测度。