更新时间：2023-01-09 19:33
设F为整体域，例如有理数域 、一般的数域或函数域 等等。设 为其中的代数整数环。对于所有F上的赋值（又称位），可定义相应的完备化 。在此，通常将赋值分为有限与无限两类：
（1）有限赋值：一一对应于 的素理想，两两不相等价。其中的赋值环记为 。
（2）无限赋值：F上的阿基米德赋值。对于数域，无限赋值系由域的嵌入 给出，两个嵌入 给出等价赋值的充要条件是其间至多差一个复共轭： 。无限赋值的个数有限。
有时也以素理想的惯用符号 表示赋值，并以表示 为无穷赋值。
定义
上式的积称为限制积，这是 的子环，我们要求对其中的每个元素 ，存在包含所有无穷赋值的有限集 ，使得 。赋予 相应的子空间拓扑，是为赋值向量环。
的拓扑由在 点的一组局部基确定，可取下述形式之开集：
其中S是函括所有无限赋值的有限集， 是 的开子集。根据吉洪诺夫定理可知 为局部紧拓扑环，这是采用限制积定义的原因之一。
（1）对角嵌入 的像落在 ，可证明F构成 的离散子集，而商群 是紧群。
（2）固定 的任一特征标，则任何特征标 皆可唯一地表示成 ，是故加法群 是其自身的对偶群。这是在阿代尔环上开展调和分析的关键之一。
阿代尔环主要用于代数数论中。对于F上的代数群G，可考虑其上的 点 。由于代数群总是线性的（换言之，可嵌入 ）， 可以具体设想为系数布于环 上的线性群，并带有自然的拓扑结构。
最简单的情形是 ，此时 称为 idèle 群，这是整体类域论的基石。在郎兰兹纲领中，须考虑更广泛的代数群，以描述数域的绝对伽罗瓦群。