更新时间：2024-03-15 13:15
在数学中，霍普夫代数是一类双代数，亦即具有相容的结合代数与余代数结构的向量空间，配上一个对极映射，后者推广了群上的逆元运算。霍普夫代数以数学家海因茨·霍普夫命名，此类结构广见于代数拓扑、群概形、群论、量子群等数学领域。
所谓霍普夫代数，是指一个域上的双代数，配上一个线性映射（称为对极映射），使得下述图一表交换。
利用 Sweedler 记号，此定义亦可表为
对极映射可理解为对卷积之逆，故其若存在必唯一。当，则称为对合的；交换或余交换霍普夫代数必对合。
根据定义，有限维霍普夫代数的对偶空间也带有自然的霍普夫代数结构。
交换环k上的霍普夫代数为一个k模A，满足
ι∘ϵ~μ∘S⮿id∘Δ
ι∘ϵ~μ∘id⮿S∘Δ
若A与B为霍普夫代数，则k模映射φ:A→B称为霍普夫代数同态，若它同时是代数同态与余代数同态。
群代数. 设为群，可赋予群代数下述霍普夫代数结构：
有限群上的函数. 设为有限群，置为所有的函数，并以逐点的加法与乘法使之成为结合代数。此时有自然的同构。定义：
仿射代数概形的座标环：处理方式同上。
后两条规则与交换子相容，因此可唯一地延拓至整个上。
李群的上同调代数构成一个霍普夫代数，其代数结构由上同调的上积给出，余代数结构则来自群乘法 ，由此导出
对极映射来自。这是霍普夫代数的历史起源，事实上，霍普夫借着研究这种结构，得以证明李群上同调的结构定理：
定理（霍普夫，1941年）.
设为上的有限维分次交换、余交换之霍普夫代数，则（视为-代数）同构于由奇数次元素生成的自由外代数。
主条目：量子群
上述所有例子若非交换便是余交换的。另一方面，泛包络代数的某些“变形”或“量子化”可给出非交换亦非余交换的例子；这类霍普夫代数常被称为量子群，尽管严格而言它们并不是群。这类代数在非交换几何中相当重要：一个仿射代数群可以由其座标环构成的霍普夫代数刻划，而这些霍普夫代数的变形则可设想为某类“量子化”了的代数群（实则非群）。