更新时间：2024-07-14 09:59
在魏尔斯特拉斯的原始文献中，这个函数定义为一个傅里叶级数：
其中 ， 为正奇数，使得：
满足这个限制条件的 的最小值是 。这个函数的构造以及它处处连续而又处处不可导的证明首次出现于魏尔斯特拉斯于1872年6月18日在普鲁士科学院提交的一篇论文中。
证明这个函数处处连续并不困难。由于无穷级数的函数项 的绝对值不大于常数 ，而正项级数 是收敛的，由魏尔斯特拉斯判别法可知，这个函数项级数一致收敛。又由于每一个函数项 都是 上的连续函数，所以级数和 也是 上的连续函数。不仅如此，由于每一项都是一致连续的，所以 也是一致连续的。
证明函数处处不可导的思路是：对任意点 ，都能找出趋于 的两个不同的数列 和 ，使得
这与函数可导的定义矛盾。
一般人在直觉上会认为连续的函数必然是可导的，即使不可导，不可导的点也必然只占整体的一小部分（例如是可数集或零测集）。根据魏尔斯特拉斯的论文，之前的数学家，包括高斯，通常都是这样假定的。这可能是因为直观上很难想象一个连续但在不可数个点上不可导的函数。只有对于性质良好的函数，例如利普希茨函数，不可导的点才一定是零测集。
魏尔斯特拉斯函数可以说是第一个分形函数，尽管这个名词当时还不存在。将魏尔斯特拉斯函数在任一点放大，所得到的局部图都和整体图形相似。无论如何放大，函数图像都不会显得更加平滑，不像可导函数那样越来越接近直线；仍然具有无限的细节，不存在单调的区间。函数图像的豪斯多夫维数 ，并且普遍认为等号总是成立的，但这还没有得到严格证明。
魏尔斯特拉斯函数不是利普希茨连续的，但可以是赫尔德连续的。设 ，则 具有指数为 的赫尔德连续性，即存在常数 ，使得对任意的 都有
在实分析中，凡具有和魏尔斯特拉斯的原始定义相似的构造与性质的函数，都可称为魏尔斯特拉斯函数。
本华·曼德博（Benoit Mandelbrot）给出的推广具有形式：
其中 。这个推广的函数同样是处处连续但处处不可导。此外还具有精确的自相似性，满足重整化群方程
虽然没有通常的导数，但这个函数可以有分数阶导数。定义 为 的 次黎曼-刘维尔分数阶导数，则有重整化群关系
这个函数是赫尔德连续的，赫尔德指数 。有猜想认为其图像的豪斯多夫维数就是 ，并且具有阶数小于 的连续的分数阶导数。