更新时间：2022-08-25 15:05
在经典力学里，伯特兰定理阐明，只有两种位势V可以给出闭合轨道：
1.平方反比有心力给出的连心势，像重力势或静电势，以方程表示为
2.径向谐振子势：
其中，r是径向坐标，k是正值常数。假若物体从某位置移动，经过一段路径后，又回到原先位置，则称此路径为闭合轨道。
1687年，物理泰斗艾萨克·牛顿在巨著《自然哲学的数学原理》里发表的万有引力定律，解释了为什么行星绕着太阳的公转运动会遵守开普勒定律。在这之后，许多科学家开始研究，当行星的运动稍许偏离了这轨道的时候，可能会发生的状况？其中一个问题为：轨道是否仍旧是闭合的？但是，经过多年的探讨，科学家都无法给出合理的解答。一直要等到1873年，法国数学家约瑟·伯特兰发表伯特兰定理，才正确地解析这问题。对于经典天体力学研究，这定理非常的重要；在宇宙遥远的那一边，万有引力的性质是否仍旧保持不变？伯特兰定理给予实验者一个精确的方法，来测试万有引力的平方反比性质。
在现代物理学里，理论物理学家发现，由于广义相对论效应，重力势轨道是非闭合的。天文学家作实验观测到，水星绕着太阳公转的椭圆轨道，其近拱点呈缓慢进动状态。所以，当涉及广义相对论的领域，伯特兰定理不成立。
平方反比有心力给出的连心势，像重力势或静电势，以方程表示为
处于这种连心势的粒子，其一般轨道方程写为
其解答为轨道函数：
其中，e是椭圆轨道的离心率，是相位差，是一个积分常数。
这是焦点位于原点的圆锥曲线的一般方程。当时，这轨道对应于圆形轨道； 当时，这轨道是椭圆形轨道；当时，这轨道是抛物线轨道；当时，这轨道是双曲线轨道。
离心率与粒子能量E的关系为
所以，当时，这轨道是圆形轨道； 当时，这轨道是椭圆形轨道；当时，这轨道是抛物线轨道；当时，这轨道是双曲线轨道。
为了方便解析这问题，采用直角坐标。势能可以写为
处于径向谐振子位势的粒子，其拉格朗日量是
这粒子的拉格朗日方程为
其中，是振动频率。
常数k必须为正值；否则，粒子会朝着无穷远飞离。这些微分方程的解答为
其中，、、分别为x、y、z方向的振幅，、、分别为其相位
由于上述方程经过整整一周期后，会重复自己，轨道解答是闭合轨道。
牛顿旋转轨道定理表明，对于一个感受到线性作用力或平方反比作用力的移动中的粒子，假设再增添立方反比力于此粒子，只要因子是有理数，则粒子的轨道仍旧是闭合轨道。根据牛顿旋转轨道定理的方程，增添的立方反比力为
其中，是粒子原本的角动量，是粒子的质量。
所以，。
由于是有理数，可以写为分数；其中，和都是整数。对于这案例，增添立方反比力使得粒子完成圈公转的时间等于原本完成圈公转的时间。这种产生闭合轨道的方法不违背伯特兰定理，因为，增添的立方反比力与粒子的原本角动量有关。