更新时间：2024-08-02 19:54
朗兰兹纲领是数学中一系列影响深远的构想，联系数论、代数几何与约化群表示理论。
就是将一些表面看起来不相干的内容建立起来本质联系。
朗兰兹纲领建基于当时已存在的念头：盖尔芳特之前几年写的 《尖点形式之启示》（The Philosophy of Cusp Forms）；哈瑞希·昌得拉（en:Harish-Chandra）研究半单李群的结果和方法；而技术上则有塞尔伯格等的塞尔伯格迹公式。
朗兰兹的创见，除技术之深以外，在于他提出上述理论与数论的直接联系，以及其构想中丰富的总体结构（即所谓函子性）。
例如在哈瑞希·昌得拉的工作中，我们可见以下原则：
故一旦认清一些低维李群 —如 GL2—在模形式理论之角色，并反观 GL1在类域论之角色，我们至少可推测一般 GLn的情况。
尖点形式之念头来自模曲线上的尖点，在谱理论上对应于离散谱；对比之下连续谱则来自艾森斯坦级数。但当给定的李群越大，则抛物子群越多，技术上则越复杂。
在此等研究途径中不乏各种技巧——通常基于列维分解等事实、具诱导表示的性质 ——但这领域一直都很困难。
在模形式方面，亦有例如希尔伯特模形式、西格尔模形式和theta-级数等等面向。
洛朗·拉佛阁在朗兰兹纲领研究方面取得了巨大的进展，他证明了与函数域情形相应的整体朗兰兹纲领。他的工作的特点是：令人惊叹的技巧，深刻的洞察力和系统有力的方法。
朗兰兹纲领最先是由罗伯特·朗兰兹(RobertP．Langlands)在1967年给安德烈·韦伊(Andre Weil)的一封著名的信中提出的。它是一组意义深远的猜想，这些猜想精确地预言了数学中某些表面上毫不相干的领域之间可能存在的联系。朗兰兹纲领的影响近年来与日俱增，与它有关的每一个新的进展都被看作是重要的成果。
对朗兰兹纲领最强有力的支持之一，是20世纪90年代安德鲁·维尔斯(Andrew Wiles)证明费马大定理。维尔斯的证明与其他人的工作一起导致了谷山―志村―韦依猜想的解决。该猜想揭示了椭圆曲线与模形式之间的关系，前者是具有深刻算术性质的几何对象，后者是来源于截然不同的数学分析领域的高度周期性的函数。朗兰兹纲领则提出了数论中的伽罗瓦表示与分析中的自守型之间的一个关系网。
朗兰兹纲领的根源，可以追溯到数论中最深刻的结果之一----二次互反律。二次互反律最早产生于17世纪费马的时代，1801年高斯给出了其第一个证明。数论中经常提到的一个问题是：当两个素数相除时，余数是否是完全平方？二次互反律揭示了关于素数p和q的两个貌似无关的问题之间存在的奇妙联系，这两个问题是：“p除以q的余数是否为完全平方？”与“q除以p的余数是否为完全平方？”尽管关于这一定律已经有许多证明(高斯本人就给出了六个不同的证明)，二次互反律仍然是数论中最神奇的事实之一。20世纪20年代高木贞治和埃米·阿廷又发现了其它的较一般的互反律。朗兰兹纲领的一个最初动机，就是要对更一般情形的互反律提供完全的理解。
拉佛阁所证明的相应的整体朗兰兹纲领，对更抽象的所谓函数域而非通常的数域情形提供了这样一种完全的理解。我们可以将函数域设想为由多项式的商组成的集合，对这些多项式商可以像有理数那样进行加、减、乘、除运算。拉佛阁对于任意给定的函数域建立了其伽罗瓦群表示和与该域相伴的自守型之间的精确联系。拉佛阁的研究是以1990年菲尔茨奖获得者弗拉基米尔·德里菲尔德的工作为基础，后者在20世纪70年代证明了相应的朗兰兹纲领的特殊情形。拉佛阁首先认识到德里菲尔德的工作可以被推广而为函数域情形的相应的朗兰兹纲领提供一幅完整的图像。
在这一工作的过程中，拉佛阁还发现了一种将来可能被证明是十分重要的新的几何构造。所有这些发展的影响正在波及整个数学研究领域。
我们可以二次互反律之推广阿廷互反律为朗兰兹纲领之起点： 给定一个Q上的、伽罗瓦群为可交换群的数域，阿廷互反律向这个伽罗瓦群的任何一支一维表示配上一枚L-函数，并断言：此等 L-函数俱等于某些狄利克雷L函数（黎曼ζ函数的类推，由狄利克雷特征表达）。此二种L-函数之间的准确的联系构成了阿廷互反律。
若给定不可交换伽罗瓦群及其高维表示，我们仍可定义一些自然的相配的L-函数——阿廷L函数。
朗兰兹洞察到：当找到适当的狄利克雷L-函数的推广，便有可能推广阿廷互反律。
黑克（Erich Hecke）曾联系全纯自守形式（定义于上半复平面上、满足某些函数方程的全纯函数）与狄利克雷L函数。朗兰兹推广赫克理论，以应用于自守尖点表示（自守尖点表示是Q-阿代尔环上一般线性群GLn的某类无限维不可约表示）。
朗兰兹为这些自守表示配上 L-函数，然后猜想：
若要建立一一对应，须考虑较伽罗瓦群的适当扩张，称作韦依-德利涅群。在可交换的例子，这相当于将狄利克雷特征推广为赫克特征（德文旧称Größencharakter）。互反猜想蕴含阿廷猜想。
朗兰兹再进一步推广：
朗兰兹更构想了一道非常广泛的函子性原则（Functoriality Principle）：
函子性猜想蕴含广义拉马努金猜想。
函子性猜想本质上是一种诱导表示构造（在传统的自守形式理论中称为提升，在某些特殊情况下已知），因而是协变的（相反地，受限表示构造是逆变的）。各种直接构造的尝试只产生了一些条件性的结果。
上述各猜想亦有其他域上的版本：数域（最早期的版本）、局部域及函数域（即Fp(t)的有限扩张； 其中p是一素数，Fp(t) 是p元有限域上的有理函数域）。局部域的与数域的朗兰兹纲领满足一些相容性，二者之方法亦互为用。
38岁的越南数学家吴宝珠“通过引入新的代数—几何学方法，证明了朗兰兹纲领自守形式中的基本引理”，该成果于2009年被美国《时代》周刊列为年度十大科学发现之一。
并且于2010年8月19日，在印度海得拉巴市召开的第26届国际数学家大会上，获得国际数学界大奖——菲尔茨奖。
吴宝珠在接受《科学时报》采访时说：“我只是证明了朗兰兹纲领的基本引理，不是整个纲领，我认为整个纲领的证明也许需要用我一生的时间。”
挪威科学与文学院2018年3月20日宣布将2018年度阿贝尔奖授予加拿大数学家罗伯特·朗兰兹，为表彰以他的名字命名的“朗兰兹纲领”将数学中的表示论和数论联系了起来。