1825年，狄利克雷向法国科学院提交他的第一篇数学论文《某些五次不定方程的不可解》(Mémoire sur L'impossibilite de quelques équations indéterminées du cinquieme degré)。他利用代数数论方法讨论形如x5+y5=A·z5的方程。几周后，勒让德利用该文中的方法证明了 当n=5时无整数解；狄利克雷本人不久也独立证明出同一结论。(后来狄利克雷再次研究费马大定理时，证明n=14时该方程无整数解。)

1825年11月，法伊将军去世。1826年，狄利克雷在为振兴德国自然科学研究而奔走的亚历山大·冯·洪堡(Alexander von Humboldt)的影响下，返回德国，在布雷斯劳大学获讲师资格(他在法国未攻读博士学位，而由科隆大学授予他荣誉博士头衔，这是获得讲师资格的必要条件)，后升任编外教授(extraordinary professor，为介于正式教授和讲师之间的职称)。

1828年，狄利克雷又经洪堡的帮助来到学术空气较浓厚的柏林，任教于柏林军事学院。同年，他又被聘为柏林大学编外教授(后升为正式教授)，开始了他在柏林长达27年的教学与研究生涯。由于他讲课清晰，思想深邃，为人谦逊，谆谆善诱，培养了一批优秀数学家，对德国在19世纪后期成为国际上又一个数学中心产生了巨大影响。

1831年，狄利克雷成为柏林科学院院士。同年, 他和哲学家摩西·门德尔松 (Moses Mendelssohn) 的外孙女丽贝卡·门德尔松-巴托尔特 (Rebecca Mendelssohn-Bartholdy, 音乐家费利克斯·门德尔松之姐) 结婚。

1855年，高斯去世，狄利克雷被选定作为高斯的继任到哥廷根大学任教。与在柏林繁重的教学任务相比，他很欣赏在哥廷根有更多自由支配的时间从事研究(这一时期主要从事一般力学的研究)。可惜好景不长，1858年夏，他去瑞士蒙特勒开会，作纪念高斯的演讲，在那里突发心脏病。狄利克雷虽平安返回了哥廷根，但在病中遭夫人中风身亡的打击，病情加重，于1859年春与世长辞。

在数论方面，他对高斯的《算术研究》进行了研究，并有所创新。对费马大定理，他给出当n=14时，无整数解的证明；还探讨了二次型、多项式的因子、二次和双二次互反律等问题；还开创了解析数论的研究。

狄利克雷在柏林的早期数论工作，集中在改进高斯《算术研究》及其他数论文章中的证明或表述方式。如高斯给出的二次互反律的第一个证明相当烦琐，需对8种情形作分别的处理；狄利克雷简化了这一证明，把全部情形归结为2种。其后，他在高斯的理论中引入了一些更深入的问题和结果。如为解二元型理论中的某些困难问题，他开始讨论三元型的课题，提出了一个富有成果的新领域。

1837年7月27日，狄利克雷在柏林科学院会议上，提交了对勒让德的一个猜想的解答，他证明任一形如an+b，n=0，1，2，…的算术级数，若a，b互素，则它含有无穷多个素数(即算术级数的素是复数)和二元二次型类数的计算等分析学工具和方法，成为解析数论的开创性工作。

1842年，狄利克雷开始研究具有高斯系数的型，首次运用了“鸽巢原理”——若将多于n个的物体放入n个盒子，则至少有一个盒子含有多于一个的物体，它在现代数论的许多论证中起重要作用。

1846年，他在属于代数数论的单元理论的文章“复单元理论(Zur Theorie der complexen Einheiten)中，获得了一个漂亮而完整的结果，现称狄利克雷单元定理：对由一个不可约方程及其r个实根和s对复根定义的代数数域 K=Q(α)，一切单元构成的阿贝尔群的秩为r+s-1，其有限阶元部分由域中单位根组成。

1863年，狄利克雷的《数论讲义》(Vorlesungen über Zahlen-theorie)由他的学生和朋友R．戴德金(Dedekind)编辑出版，这份讲义不仅是对高斯《算术研究》的最好注释，而且融进了他在数论方面的许多精心创造，之后多次再版，成为数论经典之一。

在分析方面，狄利克雷其中一项的工作是对傅立叶级数收敛性的研究。他在1822——1825年期间在巴黎会见傅立叶之后，对傅立叶级数产生了兴趣。日本数学家丸山哲郎说：“把任意函数用三角级数表示出来的傅立叶方法，被狄利克雷所继承，他给出了关于傅立叶级数的收敛性证明。”

狄利克雷是19世纪分析学严格化的倡导者之一。1829年，他在克雷尔(Crell)杂志发表了他最著名的一篇文章“关于三角级数的收敛性”(Sur la convergence des séries trigonométri-ques)。该文是在傅里叶有关热传导理论的影响下写成的，讨论任意函数展成形如：1/2 +( cosx+ sinx)+( cos2x+ sin2x)+…的三角级数(现称傅里叶级数)及其收敛性。早在18世纪，丹尼尔·伯努利 (Daniel Bernoulli) 和莱昂哈德·欧拉 (Leonhard Euler) 就曾在研究弦振动问题时考察过这类级数。傅里叶在19世纪初用它讨论热传导现象，但未虑及其收敛性。奥古斯丁·路易斯·柯西 (Augustin Louis Cauchy) 在1823年开始考虑它的收敛问题。狄利克雷在文中指出柯西的推理不严格，其结论也不能涵盖某些已知其收敛性的级数。他进而考虑形式上对应于给定函数f(x)的三角级数的前n项的和，检验它跟f(x)的差是否趋于零，后成为判断级数收敛的经典方法。狄利克雷证明：若f(x)是周期为2π的周期函数, 在 -π ＜x时, dx有限，则在f(x)所有的连续点处，其傅里叶级数收敛到f(x)，在函数的跳跃点处，它收敛于函数左右极限值的算术平均。这是第一个严格证明了的有关傅里叶级数收敛的充分条件，开始了三角级数理论的精密研究。

数学符号及运算组成的表达式为函数的概念)，引入了现代的函数概念：若变量y以如下方式与变量x相关联，即只要给x指定一个值，按一个规则可确定唯一与之对应的y值，则称y是独立变量x的函数。为说明该规则具有完全任意的性质，狄利克雷举出了“性状极怪”的函数实例：当x为有理数时，y=1；当x为无理数时，y=0 现称狄利克雷函数, 该函数在定义域内处处不连续。但狄利克雷的连续函数概念仍是直观的，并根据等距取函数值求和的方法定义其积分。在此基础上，狄利克雷建立了傅里叶级数的理论。

狄利克雷在数学和力学两个领域都做出了名垂史册的重大贡献，尤以分析、数论、位势论为最。挪威著名数学家阿贝尔说：“狄利克雷是一位极有洞察力的数学家。”

1839年，狄利克雷发表了3篇涉及力学的数学论文，讨论多重积分估值的方法，用于确定椭球体对其内部或外部任意质点的引力，开始了他对数学物理问题的研究。这方面最重要的文章发表于1850年，提出了研究拉普拉斯方程的边值问题(现称狄利克雷问题或第一边值问题)：求满足偏微分方程的位势函数V(x，y，z)，使它在球面边界上取给定的值。这一类型的问题在热力学和电动力学中特别重要，也是数理方程研究中的基本课题。狄利克雷本人曾用所谓的狄利克雷原理给出了问题的解。1852年，他讨论球在不可压缩流体中的运动，得到流体动力学方程的第一个精确解。

勒热纳·狄利克雷逝后，其朋友且学生数学家戴德金将其数论的讲述和其他结果整理、编辑，在1863年出版了他的遗著《数论讲义》，其中包含了他在数论方面的许多成果。在分析方面，他先后发表了《关于三角级数的收敛性》、《用正弦和余弦级数表示完全任意函数》，其中进一步发展了傅里叶级数的理论，并提出新的单值函数概念，还提出所谓“狄利克雷函数”、所谓“狄利克雷积分”等。他还在位势论、热学、磁学、数学物理等方面也有一些创造。

狄利克雷很注重同德、法等外国数学家的交流。其主要论文收集在《狄利克雷论文集》里，共2卷，分别出版于1889年和1897年。

1.简介

在数论中，狄利克雷定理说明对于任意互质的两个数a,d，有无限多个质数的形式如a+nd，其中n为正整数，即在算术级数a+d,a+2d,a+3d……中有无限多个质数——有无限个质数模d同余a。狄利克雷函数无法画出图像

2.相关定理

欧几里得证明了有无限个质数，即有无限多个质数的形式如2n+1。

算术级数的质数定理：若a,d互质，则有

其中φ是欧拉函数。取d=2，可得一般的质数定理。

Linnik定理说明了级数中最小的质数的范围：算术级数a+nd中最小的质数少于c*d^L，其中L和c均为常数，但这两个常数的最小值尚未找到。

Chebotarev密度定理是在狄利克雷定理在伽罗瓦扩张的推广。

分析学中，狄利克雷（Dirichlet）判别法是分析学中一条十分重要的判定法则，主要用于判定任意项数项级数的收敛、函数项级数的一致收敛、反常积分的收敛以及含参变量反常积分的一致收敛等。

1834年提出鸽巢原理（即抽屉原理），当时命名为Schubfachprinzip (drawer principle).

狄利克雷于1805年2月13日生于德国迪伦，1859年5月5日卒于哥廷根。

其家庭来自比利时的市镇利克雷（Richelet），此乃其姓氏勒热纳·狄利克雷（le jeune de Richelet = 法语：来自利克雷的小伙子），他的祖父就生活在那里。狄利克雷出身于行政官员家庭，他父亲是一名邮政局长。狄利克雷少年时即表现出对数学的浓厚兴趣，据说他在年少时就攒零用钱购买数学图书。1817年入波恩的一所中学，除数学外，他对近代史有特殊爱好，人们称道他是个能专心致志又品行优良的学生。两年后，他遵照父母的意愿转学到科隆的一所教会学校，在那里曾从师物理学家欧姆(Ohm)，学到了必要的物理学基础知识。

其妻瑞贝卡·门德尔松（Rebecca Mendelssohn）是音乐家费利克斯·门德尔松的妹妹。